Differenzierbarkeit und Integralrechnung

27.01.2017, 15:41	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit und Integralrechnung Hallo zusammen, ich mache gerade eine Aufgabe die ich nicht verstehe, obwohl ich schon die Lösung habe. Kann mir bitte jemand sie erklären ? Punkt a : (da ist alles Klar) $\begin{eqnarray} (ln \circ f)'(x)=ln'(f(x))f'(x) = \left( \dfrac{f'(x)}{f(x)} \right) \end{eqnarray}$ Punkt b :* Zeigen Sie mit Hilfe von Punkt a, dass falls $\begin{eqnarray} f : [0,\infty) \to (0,\infty) \end{eqnarray}$ überall differenzierter ist und ein $\begin{eqnarray} g : [0,\infty) \to R \end{eqnarray}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray} f'(x) \le f(x)g(x) \end{eqnarray}$ für alle x > 0 dann $\begin{eqnarray} f(x) \le f(0)e^{\int_{0}^x \mathrm g(s)\,\mathrm ds} \end{eqnarray}$ für alle x $\begin{eqnarray} \ge \end{eqnarray}$ 0 Lösung: $\begin{eqnarray} ln \circ f(x) = ln \circ f(0) + {\int_{0}^x \mathrm (ln \circ f)'(s)\,\mathrm ds} = ln \circ f(0) + {\int_{0}^x \mathrm (\left( \dfrac{f'(s)}{f(s)} \right))\,\mathrm ds} \le ln \circ f(0) + {\int_{0}^x \mathrm g(s)\,\mathrm ds} \end{eqnarray}$ Demnach folgt: $\begin{eqnarray} f(x) \le e^{ln(f(0))+{\int_{0}^x \mathrm g(s)\,\mathrm ds}} = f(0)e^{\int_{0}^x \mathrm g(s)\,\mathrm ds} \end{eqnarray}$ Liebe Grüsse Dawid
27.01.2017, 15:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Schritte sind dir denn unklar?
27.01.2017, 15:50	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit und Integralrechnung Das da : $\begin{eqnarray} ln \circ f(x) = ln \circ f(0) + {\int_{0}^x \mathrm (ln \circ f)'(s)\,\mathrm ds} = ln \circ f(0) + {\int_{0}^x \mathrm (\left( \dfrac{f'(s)}{f(s)} \right))\,\mathrm ds} \le ln \circ f(0) + {\int_{0}^x \mathrm g(s)\,\mathrm ds} \end{eqnarray}$ Wie kommt man zu der Gleichung?
27.01.2017, 15:54	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehen wir das mal Schritt für Schritt durch: Für das erste Gleichheitszeichen rechne das Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^x \mathrm (ln \circ f)'(s)\,\mathrm ds \end{eqnarray}$ aus. Was erhältst du?
27.01.2017, 16:17	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{0}^x \mathrm (ln \circ f)'(s)\,\mathrm ds = \int_{0}^x \mathrm (ln(f(s)))'\,\mathrm ds = {\int_{0}^x \mathrm (\left( \dfrac{f'(s)}{f(s)} \right))\,\mathrm ds} \end{eqnarray}$ Stimmt das ? Woher kommt dann $\begin{eqnarray} ln \circ f(0) \end{eqnarray}$ ?
27.01.2017, 16:26	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, damit hast du das zweite Gleichheitszeichen gezeigt. Mit "Ausrechnen" meinte ich das Vorgehen, das man bei bestimmten Integralen anwendet: Stammfunktion suchen, Grenzen einsetzen...
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27.01.2017, 16:46	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{0}^x \mathrm (ln \circ f)'(s)\,\mathrm ds = \int_{0}^x \mathrm (ln(f(s)))'\,\mathrm ds = {\int_{0}^x \mathrm (\left( \dfrac{f'(s)}{f(s)} \right))\,\mathrm ds} = [ln(f(s))]_{0}^x = ln(f(x)) - ln(f(0)) \end{eqnarray}$
27.01.2017, 16:51	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit und Integralrechnung Hmm, also da wäre ich einverstanden. Wie kommt man jetzt auf die Folgerung? $\begin{eqnarray} f(x) \le e^{ln(f(0))+{\int_{0}^x \mathrm g(s)\,\mathrm ds}} = f(0)e^{\int_{0}^x \mathrm g(s)\,\mathrm ds} \end{eqnarray}$ edit: aa, $\begin{eqnarray} e^{ln(f(x))} \end{eqnarray}$ ... alles Klar, ich mache die Aufgabe noch einmal und schreibe eventuell später. Vielen Dank

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