Unterraum des Polynomraums nachweisen

27.01.2017, 17:11	ruther	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum des Polynomraums nachweisen Hallo, ich beschäftige mich momentan mit folgender Aufgabe: Sei P4 der Vektorraum der reellen Polynome vom Grade <= 4. Sei U gegeben durch: $\begin{eqnarray} <br /> U := \left \{ p4 \epsilon P4 \| p4(1)=p4'(1)=p4''(1)=p4'''(1) \right \}<br /> \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie: U ist Unterraum von P4 b) Leiten Sie eine Basis für U her. Nun hänge ich bereits beim Nachweis vom Unterraum.. wie genau zeige ich die Abgeschlossenheit gegenüber der Addition? Also wie zeige ich: $\begin{eqnarray} <br /> (p4+q4) \epsilon U<br /> \end{eqnarray}$ ? Bin mir nicht sicher, wie ich da die Bedingung ins Spiel bringe.. kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben? Danke!
27.01.2017, 18:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst zeigen, dass die Summe die rechts genannte Bedingung erfüllt. Was weißt du denn über die beiden Summanden $\begin{eqnarray} p_4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q_4 \end{eqnarray}$ , wenn du bedenkst, dass sie beide in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegen? Wie wirkt sich das auf die Summe aus? Lg kgV
27.01.2017, 19:28	ruther	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, also ich weiß dass $\begin{eqnarray} p_4(1)+q_4(1) = p_4'(1)+q_4'(1)=p_4''(1)+q_4''(1)=p_q'''(1)+q_4'''(1) \end{eqnarray}$ Aber damit habe ich ja noch nichts nachgewiesen... oder doch?
27.01.2017, 19:33	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, im Grunde hast du es schon dastehen. Du musst nur noch begründen, warum $\begin{eqnarray} p_4'(1)+q_4'(1)=(p_4+q_4)'(1) \end{eqnarray}$ (und analog die höheren Ableitungen) gilt. Das sollte aber nicht schwer sein

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