E-Funktion nach x auflösen

28.01.2017, 20:37

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E-Funktion nach x auflösen

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte zwei Gleichungen lösen.

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} e^{2x} - 4e^{- x} - 5= 0 \end{eqnarray*}$

2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} e^{3x} - 2e^{x} - 5= 0 \end{eqnarray*}$

Im Buch sind folgende Lösungen angegeben:

Für die 1.Gleichung : x = ln(5)

Für die 2.Gleichung : x= 0,397; x= 3,480

Aber ich glaube, dass die Lösungen falsch sind. Da ich diese mittels GTR überprüft habe.

Meine Ideen:
1. Gleichung:
$\begin{eqnarray*} e^{2x} - 4e^{-x} - 5= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{2x} - \frac{4}{e^{x} } - 5= 0 \end{eqnarray*}$

Nun aber ich auf beiden Seite mit $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ multipliziert, um die Variable x aus dem Nenner des Bruches zu beseitigen.

$\begin{eqnarray*} <br /> e^{2x}e^{x} - \frac{4}{e^{x} }e^{x} - 5e^{x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{3x} - 4 - 5e^{x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{3x} - 5e^{x} - 4= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^{x})^3 - 5e^{x} - 4= 0 \end{eqnarray*}$

Leider kann ich hier nicht den Satz des Nullproduktes anwenden. Genau so wie die Substitution.

Habe auch versucht die Gleichung auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} e^{2x} - 4e^{- x} - 5= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x}e^{2x} - \frac{4}{e^{x} }e^{2x} - 5e^{2x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{4x} - 4e^{x} - 5e^{2x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{4x} - 5e^{2x}- 4e^{x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^{x}) ^4 - 5(e^{x})^2- 4e^{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Als nächstes den Faktor $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} (e^{x}) ^3 - 5e^{x}-4 = 0 \end{eqnarray*}$

Hier komme ich wieder nicht weiter.

Für die 2.Gleichung komme ich gar nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} e^{3x} - 2e^{x} - 5= 0 \end{eqnarray*}$

Also gar nicht weitergekommen.

Würde mich über Tipps sehr freuen.

28.01.2017, 22:08

Dopap

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1.) die erste Lösung überprüft man nicht numerisch sondern exakt.
Kriegst du das hin ?

2.) die numerische Lösung deutet an, dass ein geschlossener Ausdruck schwer möglich ist. Die 3 Ziffern sind aber etwas zu wenig.

Die Substitution $\begin{eqnarray*} e^x=u \end{eqnarray*}$
führt zu $\begin{eqnarray*} u^3 -2u -5=0 \quad u>0 \end{eqnarray*}$

dazu gibt es die Cardanischen Formeln, die aber schon ziemlich kompliziert sind.

https://www.matheretter.de/formeln/algeb...sche-gleichung/

meistens wird das numerisch gelöst.

der Plotter zeigt aber eine Lösung bei 0.74 an.

28.01.2017, 22:28

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Hallo,

erstmal vielen Dank für Deine Antwort.

Also bedeutet dies, dass 1.Gleichung analytisch lösbar und die 2.Gleichung "nur" numerisch lösbar ist?

Außerdem noch eine Frage: Ist dann die 2.Gleichung nicht mehr mit "schulischen Verfahren" zu lösen?

28.01.2017, 22:34

Dopap

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1.) ist denn $\begin{eqnarray*} \ln(5) \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Lösung?

2.) sicherlich nicht schulisch exakt lösbar.

28.01.2017, 22:38

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Hallo,

hab die 1.Gleichung mit dem GTR eingegeben und erhalte ungefähr x= 0,9406

28.01.2017, 22:58

Dopap

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RE: E-Funktion nach x auflösen

Zitat:

Original von Ergebnismenge

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} e^{2x} - 4e^{- x} - 5= 0 \end{eqnarray*}$

Im Buch sind folgende Lösungen angegeben:

Für die 1.Gleichung : x = ln(5)

also:

$\begin{eqnarray*} e^{3\ln(5)}-5e^{\ln(5)} -4 &=&<br /> e^{\ln(5^3)}-5\cdot 5 -4 &=&<br /> 125 -25-4 \neq 0 \end{eqnarray*}$

ln(5) ist keine Lösung.

Deine 0.9406 könnte eine Lösung sein.

28.01.2017, 23:04

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Ja,

Danke für die Antwort und dies bestätigt meine Befürchtung.

Leider sind auch im Lernbuch einige Fehler enthalten und Aufgaben, die man nicht lösen kann. Insgesamt kein gutes Ergebnis für das Buch

28.01.2017, 23:22

Dopap

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es gibt jede Menge schrottige Lernbücher unglücklich

29.01.2017, 01:25

Helferlein

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Die exakte Lösung der ersten Aufgabe ist übrigens $\begin{align*} ln(1+\sqrt{17})-ln~2 \end{align*}$ , was gerundet den 0,9406 entspricht.

29.01.2017, 10:36

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Hallo,

Helferlein kannst Du mir einen Tipp geben, wie Du die 1.Gleichung gelöst hast?

29.01.2017, 10:54

G290117

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Verwende ein Näherungseverfahren z.B. Newton

29.01.2017, 10:58

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Hallo,

Danke für Deine Antwort. Ich dachte, dass Dopap und Helferlein es ohne Näherungsverfahren gelöst haben. Da ich es nur analytisch lösen möchte. Und dies bezieht auf die 1.Gleichung.

29.01.2017, 11:13

Huggy

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Man kann die erste Gleichung exakt lösen und ohne Cardanische Formeln. Die Substitution

$\begin{eqnarray*} y=e^x \end{eqnarray*}$

ergibt die kubische Gleichung

$\begin{eqnarray*} y^3-5y-4=0 \end{eqnarray*}$

Falls diese Gleichung eine ganzzahlige Lösung hat, muss diese ein Teiler von $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ sein. Man findet, dass

$\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$

eine Lösung ist. Danach kann man die Gleichung durch Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung reduzieren, die mit der pq-Formel gelöst wird. Für die ursprüngliche Gleichung kommen nur Lösungen mit $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ in Frage. So bleibt nur die von Helferlein angegebene Lösung übrig.

29.01.2017, 11:21

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Hallo,

viele Dank für Deine Antwort. Ich dies ausprobieren.

29.01.2017, 16:49

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Hallo,

Dank Eurer Hilfe konnte ich die 1.Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} y^{2} -5y -4 : (y+1)= y^{2} -y -4 \end{eqnarray*}$

Nun pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{1+\sqrt{17} }{2} \end{eqnarray*}$

Die anderen sind y= -1,56 ; y= -1 (erster ist ungefähr)

Jedoch sind die letzteren überflüssig, da dass Argument des ln nur positiv sein darf.

Nun Substitution rückgängig machen:

$\begin{eqnarray*} e^{x} = \frac{1+\sqrt{17} }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(e^{x}) = ln(\frac{1+\sqrt{17} }{2} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xln(e) = ln(\frac{1+\sqrt{17} }{2} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = ln (1+\sqrt{17} ) - ln (2) \end{eqnarray*}$

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