Kurvendiskussion Arcsin,Betrag,exp

29.01.2017, 11:26	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion Arcsin,Betrag,exp Hallo, ich habe mühe mit Definitionsbereich von dieser Funktion. Ist es nicht in diesem Fall [-1,1] ? Konnte jemand bitte anschauen, ob der Rest stimmt? die Aufgabe lautet: Untersuchen Sie den Graphen von den Folgenden Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = arcsin(\|x\|e^{-x^2}) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} f(x) = arcsin(xe^{-x^2}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \ge 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = arcsin(-xe^{-x^2}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty}f(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty}f(x) = 0 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x \ge 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = -\dfrac{\left(2x^2-1\right)\mathrm{e}^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2\mathrm{e}^{-2x^2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} x = \sqrt{1/2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = \dfrac{\left(2x^2-1\right)\mathrm{e}^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2\mathrm{e}^{-2x^2}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} x = -\sqrt{1/2} \end{eqnarray}$ f ist wachsend für x in $\begin{eqnarray} (-\infty; -\sqrt{1/2}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0;\sqrt{1/2}) \end{eqnarray}$ f ist fallend für x in $\begin{eqnarray} (-\sqrt{1/2};0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\sqrt{1/2}; \infty) \end{eqnarray}$ Liebe Grüsse Dawid
29.01.2017, 12:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten studierst du erst die innere Funktion $\begin{align} g(x) = \|x\| \operatorname{e}^{-x^2} \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{align}$ Sie ist gerade: $\begin{align} g(-x) = g(x) \end{align}$ , daher genügt es, $\begin{align} x \geq 0 \end{align}$ zu betrachten. Dann gilt: $\begin{align} g(x) = x \operatorname{e}^{-x^2} \, , \ \ x \geq 0 \end{align}$ $\begin{align} g'(x) = \operatorname{e}^{-x^2} \left( 1 - 2x^2 \right) \, , \ \ x > 0 \end{align}$ Eine Vorzeichenuntersuchung der Ableitung zeigt, daß $\begin{align} g \end{align}$ von $\begin{align} x=0 \end{align}$ bis $\begin{align} x = \sqrt{\frac{1}{2}} \end{align}$ anwächst und danach fällt. Da $\begin{align} g \end{align}$ keine negativen Werte annimmt und $\begin{align} g(0) = 0 \end{align}$ ist, ist $\begin{align} \left[ 0 , \sqrt{\frac{1}{2}} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}} \right] \end{align}$ der Wertebereich von $\begin{align} g \end{align}$ . Dieses Intervall liegt ganz in $\begin{align} [-1,1] \end{align}$ , dem Definitionsbereich der Arcussinusfunktion. Daher ist $\begin{align} f(x) = \arcsin \left( \|x\| \operatorname{e}^{-x^2} \right) \end{align}$ für alle $\begin{align} x \in \mathbb{R} \end{align}$ definiert. Auch $\begin{align} f \end{align}$ ist eine gerade Funktion: $\begin{align} f(-x) = f(x) \end{align}$ . Deswegen genügt es, zunächst $\begin{align} x \geq 0 \end{align}$ zu betrachten und dann die Ergebnisse durch Symmetriebetrachtungen auf $\begin{align} x \leq 0 \end{align}$ zu übertragen. Ferner ist die äußere Funktion $\begin{align} t \mapsto \arcsin t \end{align}$ streng monoton wachsend. Das Monotonieverhalten wird daher allein durch die innere Funktion festgelegt. Damit kann man sich die Rechnungen ein bißchen vereinfachen.
29.01.2017, 15:31	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht dann der Graph der Funktion so aus ? Oder sollte er sich auf [-1,1] begrenzen? Sorry, ich checke das nicht ganz.. Der Rest ist klar. Liebe Grüsse Dawid
29.01.2017, 15:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Graph könnte sowohl der von $\begin{align} f \end{align}$ als auch der von $\begin{align} g \end{align}$ sein (wie von mir definiert). Die Optik kann das nicht entscheiden, da die Graphen sehr ähnlich aussehen. Das liegt daran, daß die innere Funktion $\begin{align} t = g(x) \end{align}$ nur Werte im Intervall $\begin{align} \left[ 0 ; \sqrt{\frac{1}{2}} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}} \right] \approx \left[ 0 ; 0{,}43 \right] \end{align}$ annimmt. Für diese $\begin{align} t \end{align}$ gilt aber ziemlich gut $\begin{align} \arcsin t \approx t \end{align}$ So richtig weiß ich nicht, wo dein Problem liegt. Möglicherweise liegt es daran, daß du den Begriff der Verkettung nicht ganz verinnerlicht hast, auch wenn du formal richtig damit umgehst. Vielleicht kümmerst du dich einfach einmal darum.

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