Anzahl der Zwischenkörper einer Körpererweiterung bestimmen.

Neue Frage »

29.01.2017, 15:20	Chrissii	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Zwischenkörper einer Körpererweiterung bestimmen. Meine Frage: Hallo zusammen! Ich beschäftige mich gerade mit dem Thema der primitiven Einheitswurzeln und versuche mich dazu an einer Aufgabe, bei der ich etwas Hilfe benötige. Also zeigen bzw. bestimmen möchte ich die Anzahl der Zwischenkörper der Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \gamma_{41} \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ (hier aus dem algebraischen Abschluss von Q gemeint, bekomme dies mit Latex nur nicht hin) eine primitive 41-te Einheitswurzel ist. Meine Ideen: Was ich nun alles noch dazu sagen kann durch Sätze aus dem Skript: - da auch noch gilt char(Q)=0 teilt nicht 41, gilt auch $\begin{eqnarray} \gamma_{41} \in \mu_{41}(\mathbb Q) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ord(\gamma_{41}) = 41 \end{eqnarray}$ . - da 41 primzahl ist, ist das 41-te Kreisteilungspolynom gegeben durch: $\begin{eqnarray} \Phi_{41}(t) = t^{40} + t^{39} +...+ t + 1 \end{eqnarray}$ . - $\begin{eqnarray} \Phi_{41}(t) \end{eqnarray}$ ist das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \gamma_{41} \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist galoissch mit $\begin{eqnarray} Gal(\mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q) \cong (\mathbb Z/41\mathbb Z)^{\times } \end{eqnarray}$ . - Die Gruppe $\begin{eqnarray} Gal(\mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q) \end{eqnarray}$ ist zyklisch. Dazu dachte ich mir jetzt das die Zyklische Gruppe $\begin{eqnarray} Gal(\mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q) \end{eqnarray}$ doch Ordnung 40 haben müsste, da diese Gruppe isomorph zu Z/41Z ist, und Z/41Z ja quasi 40 Untergruppen hat, also Z/1Z, Z/2Z ,.... bis Z/40Z. Somit würde ich behaupten das $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q \end{eqnarray}$ auch 40 zwischenkörper besitzt, liege ich da mit meiner vermutung richtig ? bzw. ich weiß nich genau wie ich dies in einen formal korrekten Beweis umwandeln kann. Würde mich dazu über jegliches Feedback sehr freuen! Gruß Chrissi
29.01.2017, 18:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nicht ... siehe Kreisteilungskörper ( https://de.wikipedia.org/wiki/Kreisteilungsk%C3%B6rper ) und Eulersche $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ -Funktion.
29.01.2017, 19:26	Chrissii	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für die Antwort. Deinem Link habe ich entnommen, das zwei kreisteilungskörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{n}] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{m}] \end{eqnarray}$ mit n<m genau dann gleich sind wenn n ungerade und m = 2n gilt. Daraus würde ich jetzt folgern das nur Kreisteilungskörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{p}] \end{eqnarray}$ mit p Primzahl verschieden voneinander sind und somit müsste es 12 Zwischenkörper geben (Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und 41) stimmt diese Überlegung oder liege ich wieder falsch?
29.01.2017, 20:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \varphi(40)=\varphi(5)\varphi(8)=4\cdot(8-4)=16 \end{eqnarray}$ Wichtiger in diesem Zusammenhang ist aber $\begin{eqnarray} \varphi(41)=40 \end{eqnarray}$ , denn das ist der Grad von $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{41}]/\mathbb Q \end{eqnarray}$ . Die Galoisgruppe ist isomorph zu $\begin{eqnarray} (\mathbb {Z} /41\mathbb {Z} )^{\times } \end{eqnarray}$ , das ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 40. Nun muss man nur noch aus der Gruppentheorie wissen, welche Untergruppen eine endliche zyklische Gruppe hat. Interessant wird es, wenn man die Teilkörper und Körperbasen der Fixkörper zu den Untergruppen der Galoisgruppe berechnen möchte, dazu braucht man aber schon etwas mehr Algebra.
31.01.2017, 12:21	Chrissii	Auf diesen Beitrag antworten »
Möchte gern nochmal kurz alles nachvollziehen. Also $\begin{eqnarray} \varphi(41)=40 \end{eqnarray}$ gilt da 41 Primzahl und $\begin{eqnarray} \varphi(p)=p-1 \end{eqnarray}$ für p Primzahl gilt . Und da $\begin{eqnarray} \Phi_{41} \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \gamma_{41} \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist, ist mit $\begin{eqnarray} deg(\Phi_{41})= \varphi(41)=40 \end{eqnarray}$ der Grad von $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q \end{eqnarray}$ gegeben. Weiterhin ist $\begin{eqnarray} \mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q \end{eqnarray}$ igaloissch mit $\begin{eqnarray} Gal(\mathbb Q[\gamma_{41}] \| \mathbb Q) \cong (\mathbb Z/41\mathbb Z)^{\times } \end{eqnarray}$ . Und die Ordnung der zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb {Z} /41\mathbb {Z} )^{\times } \end{eqnarray}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray} \|(\mathbb {Z} /41\mathbb {Z} )^{\times }\| =\varphi (41) = 40 \end{eqnarray}$ . Nun noch zur Frage wieviel Untergruppen die zyklische Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb {Z} /41\mathbb {Z} )^{\times } \end{eqnarray}$ besitzt: Nun weiß ich laut Skript/wikipedia, das gilt: für jeden positiven Teiler d von n hat die Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times } \end{eqnarray}$ genau eine Untergruppe der Ordnung d, nämlich die von dem Element n / d erzeugte Untergruppe $\begin{eqnarray} \left\{ k n / d \| k = 0, ... ,d \right\} \end{eqnarray}$ . Andere als diese Untergruppen gibt es nicht. Meine Frage wäre jetzt nur, da 41 eine Primzahl ist und nur durch 1 und 41 teilbar ist, sind dies ja die beiden einzigen positiven Teiler von 41, demnach würde ich behaupten das es 2 Untergruppen gibt. Da jedoch die Eulersche Phi Funktion angibt, das es 40 teilerfremde natürliche Zahlen zu der Zahl 41 gibt, könnte ich auch hiermit Behaupten das es nur eine Untergruppe gibt, was ist nun richtig?
31.01.2017, 12:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ordnung der Galoisgruppe ist 40 , nicht 41
Anzeige

31.01.2017, 12:53	Chrissii	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich auch aufgeschrieben, aber ich habe die Definition bzgl. der Untergruppen falsch gelesen, ich suche ja teiler d von n, wobei n hier nicht die Primzahl 41 ist, sondern n die Ordnung der Gruppe und somit gibt es ja 16 Untergruppen, wie in deinem vorherigen Beitrag schon angedeutet. Sorry bin wohl etwas langsam heute.
31.01.2017, 13:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer noch falsch. Die Eulerfunktion $\begin{eqnarray} \varphi (n), \varphi(41)=40, \varphi(40)=16 \end{eqnarray}$ gibt an, gibt an, wieviele zu $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ relativ prime (d.h. $\begin{eqnarray} ggT(m,n)=1 \end{eqnarray}$ ) natürliche Zahlen $\begin{eqnarray} m\le n \end{eqnarray}$ existieren. Das ist die Ordnung der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/n\mathbb Z,\cdot)^{\times} \end{eqnarray}$ des Restklassenrings $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\cdot) \end{eqnarray}$ . Die Galoisgruppe des $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Kreisteilungskörpers ist isomorph zu dieser Gruppe, die z.B. für Primzahlen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zyklisch ist. Die Teiler von $\begin{eqnarray} \varphi(n) \end{eqnarray}$ sind nicht $\begin{eqnarray} \varphi(\varphi(n)) \end{eqnarray}$ . Die Teiler von 40 kannst Du an den Fingern abzählen aber nicht an einer Hand
31.01.2017, 14:07	Chrissii	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohja jetzt hab ich schon wieder was durcheinander geworfen, also gibts doch nur 8 Untergruppen , da es nur 8 Teiler von 40 gibt. (1,2,4,5,8,10,20,40)
31.01.2017, 14:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt. Die Galoisgruppe hat genau 8 Untergruppen, also hat der 41. Kreisteilungskörper genau 8 Teilkörper. Diese zu finden ist aufgrund der Galoistheorie keine grosse Kunst, sie sind einfach die zu den Untergruppen gehörigen Fixkörper. Sie tatsächlich zu erzeugen als einfache algebraische Erweiterungen von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ erfordert schon ein wenig Geschick. (Dafür gibt es Regeln, die für jede Primzahl anwendbar sind. Ob alles über allgemeine Kreisteilungskörper bekannt ist, weiß ich nicht, möchte ich aber stark bezweifeln.)
31.01.2017, 14:14	Chrissii	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke für die Hilfestellungen!

Neue Frage »

Antworten »

Anzahl der Zwischenkörper einer Körpererweiterung bestimmen.

Verwandte Themen