Umformen/Vereinfachen der zweiten Ableitung einer Funktion

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Treazer Auf diesen Beitrag antworten »
Umformen/Vereinfachen der zweiten Ableitung einer Funktion
Meine Frage:
Ich bereite gerade eine Kurvendiskussion für die folgende Funktion vor:

(x²+2x+8)/(4x-8)

Mit der Quotientenregel erhalte ich folgende erste Ableitung:

(x^2-4x-12)/(4x^2-16x+16)

Die zweite Ableitung habe ich dann anschließend erneut mit der Quotientenregel gebildet und folgenden Term erhalten:

(128x-256)/(16x^4-128x^3+384x^2-512x+256)

Online zeigen diverse Rechner jedoch einen wesentlich einfacheren Term an:

8/(x^3-6x^2+12x-8)

Mit GeoGebra habe ich die beiden Funktionen überprüft und herausgefunden, dass sie identisch sind.
Mein Problem ist jedoch, dass ich von meiner zweiten Ableitung nicht auf die kürzere Form gelange.

Vorab vielen Dank für die Hilfe!

Meine Ideen:
Ich habe überlegt, ob man irgendwie ein x herauskürzen könnte. Dafür habe ich x im Zähler und Nenner ausgeklammert, woraufhin aus der Konstante im Zähler und Nenner -256/x bzw. 256/x wurde:

128-(256/x)/(16x^3-128x^2+384x-512+256/x)

Durch den Bruch im Nenner (256/x) habe ich das x in den Zähler gezogen, sodass sich das x vom Bruch im Zähler (-256/x) wegkürzt. Folgende Form wäre nun vorhanden:

128-256/(16x^3-128x^2+384x-512+256)

Ich glaube jedoch, dass ich das nicht tun darf, weil das hochgezogene x aus einem einzelnen Summanden des Nenners stammt und ich es auch mit jedem Summanden des Zählers multiplizieren müsste.

Sollte es nicht falsch sein, käme ich mit weiterem Vereinfachen auf:

-128/(16x^3-128x^2+384x-256)

Durch Kürzen mit 16 würde ich dies erhalten:

-8/(x^3-8x^2+24x-16)

Dies deckt sich jedoch nicht mit der vom Rechner angezeigten Funktion.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformen/Vereinfachen der zweiten Ableitung einer Funktion
Ohne jede einzelne Deiner Umformungen nachzuvollziehen, hat es wahrscheinlich daran gelegen, dass Du in der 2. Ableitung das Quadrat im Nenner unnötig ausmultipliziert hast.
Das sollte man aber stehenlassen. Es läßt sich dann bequem faktorisieren und gegen den Zähler kürzen.
Zur Übung könntest Du daher nochmal ab

weiterrechnen.
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