Differenzierbarkeit

30.01.2017, 20:05

Mathe<3

Differenzierbarkeit

Hallo alle zusammen es soll überprüft werden ob

$\begin{eqnarray*} tan(e^{x^{2}*cos(\frac{1}{8x})}-1)+x \end{eqnarray*}$ Differenzierbar ist an der stelle x0= 0

Ich habe hierzu schon die Lösung nur ist das Problem das ich diese nicht verstehe.

Als erstes wird von den einzelnen Funktionen die Reihendarstellung gebildet und eine Restgliedabschätzung wird nach oben abgeschätzt.

Aber im nächsten schritt wird diese gar nicht verwendet. (Ich sehe nirgends wo die Restgliedabschätzung von Cos benutzt wird.)
Es wird einfach ein Landau hinzugefügt ich weiß nicht von wo dieses kommt.

Bei der h Methode hätte ich erstmal :

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{h}) [tan(e^{h^{2}*cos(\frac{1}{8h})}-1)+h ] \end{eqnarray*}$ Warum und von wo überhaupt dazu ein O(h^2) kommt verstehe ich nicht....
als nächstes hätte ich jetzt die Restgliedabschätzungen benutzt

31.01.2017, 08:40

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Mathe<3
(Ich sehe nirgends wo die Restgliedabschätzung von Cos benutzt wird.)

Der Cosinus ist beschränkt und liefert hier keinen nennenswerten Beitrag.

Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{h}) [tan(e^{h^{2}*cos(\frac{1}{8h})}-1)+h ] \end{eqnarray*}$ Warum und von wo überhaupt dazu ein O(h^2) kommt verstehe ich nicht....

Im Prinzip kommt das über das Restglied R_2(x) und müßte bei exakter Betrachtung eigentlich ein O(h^4) sein, was dann aber auch nichts ändert. smile

31.01.2017, 14:53

Mathe<3

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RE: Differenzierbarkeit
verwirrt

iwie hättest du denn die Auufgabe gelöst ?

31.01.2017, 15:15

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit
Gegen die Rechnung habe ich ja nichts einzuwenden. Am Ende wäre nur O(h^4) exakter, aber auch O(h²) ist formal nicht falsch.

Apropos "formal": in der Aufgabe wurde der Funktionswert für x=0 gar nicht angegeben. smile

31.01.2017, 15:20

IfindU

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{h}) [tan(e^{h^{2}*cos(\frac{1}{8h})}-1)+h ] \end{eqnarray*}$ Warum und von wo überhaupt dazu ein O(h^2) kommt verstehe ich nicht....

Im Prinzip kommt das über das Restglied R_2(x) und müßte bei exakter Betrachtung eigentlich ein O(h^4) sein, was dann aber auch nichts ändert. smile

Exakter wäre $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} O(h^2) \end{eqnarray*}$ . An der Stelle hat man nur die Definition der Funktion eingesetzt und noch nichts mit der Restgliedabschätzung gemacht. Es ist also überflüssig und irreführend, aber technisch gesehen nicht falsch.

Die Argumentation von klarsoweit bezieht sich dann auf die nächste Zeile.

31.01.2017, 16:00

Mathe<3

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RE: Differenzierbarkeit
Der Funktionswert ist 0.

Also verstehe ich das richtig ich könnte auch einfach eine 0 anstatt O(h^2) schreiben ?
das würde für mich vieeeel mehr sinn ergeben smile

31.01.2017, 16:26

IfindU

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RE: Differenzierbarkeit
Kannst du, und solltest du. Da war wohl jemand einfach etwas ungenau.

31.01.2017, 16:40

Mathe<3

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RE: Differenzierbarkeit
Also das ist mein Prof. verwirrt

Also Es wurde ja die Reihendarstellung benutzt :

und

...... = x + R2(x) + R(x)

Ich weiß das für x h^2 cos(1/8h) eingesetzt wird aber was ist mit R2(x) und R(x)

31.01.2017, 16:47

IfindU

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RE: Differenzierbarkeit
Die Beiden sind in nun in dem diesmal sinnvoll gesetztem $\begin{eqnarray*} O(h^2) \end{eqnarray*}$ verschwunden. Offenbar ist ja $\begin{eqnarray*} R_2(h^2 \cos(\frac 1 {8h})) \in O(h^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R(h^2 \cos(\frac 1 {8h})) \in O(h^3) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} R_2(h^2 \cos(\frac 1 {8h})) + R(h^2 \cos(\frac 1 {8h})) \in O(h^2) \end{eqnarray*}$ .

31.01.2017, 17:01

Mathe<3

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RE: Differenzierbarkeit
Warum sind die denn in O(h^2) ?

Ich dachte immer wenn ich beispielsweise einen Gw berechnen muss zum beispiel

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-5x^{2}+2x}{sin(3x)} \end{eqnarray*}$

dann kann ich die reihendarstellung von sinus benutzen und es macht sinn nur den ersten wert zu betrachten und den Rest kann ich mit 0 (x^3) aufschreiben sozusagen ist das ein Term mit einer potenz von 3. und wenn ich dann durch x teile kriege ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{-5x^{1}+2}{3+O(x^{2})} \end{eqnarray*}$ also ist der Grenzwert 2/3.

R und R2 sind ja die Restgliedabschätzungen und diese werden wieder nach oben abgeschätzt was ich nicht verstehe warum wird das gemacht ?

31.01.2017, 17:07

IfindU

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RE: Differenzierbarkeit
Du kannst es auch als
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0} \frac 1 h \left [ h^2 \cos ( \frac 1 {8h}) + R_2\left(h^2 \cos ( \frac 1 {8h} ) \right) + R\left(h^2 \cos ( \frac 1 {8h} )\right) + h \right] \end{eqnarray*}$ stehen lassen wenn es dir besser gefällt. Und was nun?

31.01.2017, 17:17

Mathe<3

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RE: Differenzierbarkeit
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} h*cos(\frac{1}{8h}) \end{eqnarray*}$ geht gegen 0 kann man leicht mit dem Sandwich-Lemma zeigen

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} *R_{2} \end{eqnarray*}$ ( weiß ich leider nicht)

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} *R \end{eqnarray*}$ (weiß ich auch leider nicht)

und sonst bleibt 1 übrig da der Grenzwert 1 ist muss [ und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} *R_{2} \end{eqnarray*}$ ( weiß ich leider nicht)

und $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} *R \end{eqnarray*}$ (weiß ich auch leider nicht) ] gegen 0 gehen aber warum weiß ich nicht

31.01.2017, 17:19

IfindU

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Mathe<3
R und R2 sind ja die Restgliedabschätzungen und diese werden wieder nach oben abgeschätzt was ich nicht verstehe warum wird das gemacht ?

Und genau deswegen werden die beiden abgeschätzt. Damit man zeigen kann dass die beiden Grenzwerte, deren Wert du nicht begründen kannst, tatsächlich gegen 0 konvergieren.

31.01.2017, 17:31

Mathe<3

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RE: Differenzierbarkeit
Ja gut dann muss man doch h^2 cos(x) in den teil was wir abgeschätzt haben einsetzen also einmal in |x|^2 und dann ins andere wie kommt man da auf O(h^2) ?

01.02.2017, 13:00

IfindU

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RE: Differenzierbarkeit
Wie klarsoweit bemerkte ist $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ durch 1 beschraenkt. Also $\begin{eqnarray*} |h^2 \cos ( \frac 1 {8h} )| \leq h^2 \end{eqnarray*}$ . Setzt man in die Abschätzungen nun $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ ein, so erhält man bei $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ einen Term mit $\begin{eqnarray*} h^4 \end{eqnarray*}$ und in dem für $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} h^6 \end{eqnarray*}$ . Die Summe ist also in $\begin{eqnarray*} O(h^4) \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} O(h^4) \subset O(h^2) \end{eqnarray*}$ ist, folgt die Aussage.

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