Tensorgleichung

30.01.2017, 21:13	Sabbse922	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorgleichung Guten Abend, sei $\begin{eqnarray} A_{\mu \nu} \end{eqnarray}$ ein antisymmetrischer Minkovskitensor von Rang zwei und $\begin{eqnarray} x^\mu \end{eqnarray}$ ein Vierervektor. Dann soll ich folgende Gleichheit zeigen $\begin{eqnarray} x^\mu x^\nu A_{\mu \nu}=0 \end{eqnarray}$ Für einen antisymmetrischer Minkovskitensor von Rang gilt: $\begin{eqnarray} A_{\mu \nu}= -A_{\nu \mu} \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass ich trotz dieser Information nicht weiß, wie ich den obigen Ausdruck Schritt für Schritt auswerten soll. Könnte mir bitte jemand erklären , da ich mehrere ähnliche Aufgaben bearbeiten muss, wie ich den obigen Ausdruck korrekt ausschreibe. Mfg
31.01.2017, 09:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Berechnen der Summe $\begin{eqnarray} A_{\mu \nu}x^{\mu} x^{\nu} \end{eqnarray}$ werden alle Indexkombinationen $\begin{eqnarray} \mu, \nu \end{eqnarray}$ durchlaufen. Zu jedem Summanden $\begin{eqnarray} A_{\mu \nu}x^{\mu} x^{\nu} \end{eqnarray}$ mit festem $\begin{eqnarray} \mu, \nu \end{eqnarray}$ existiert also auch der "entgegengesetzte" Summand $\begin{eqnarray} A_{\nu \mu}x^{\nu} x^{\mu} \end{eqnarray}$ mit vertauschten Indizes $\begin{eqnarray} \nu, \mu \end{eqnarray}$ . Dieser "entgegengesetzte" Summand hat gerade das entgegengesetzte Vorzeichen. Somit heben sich alle Summanden paarweise auf. Beispiel: Betrachte die beiden "entgegengesetzten" Summanden mit den festen Indizes $\begin{eqnarray} \mu=2, \nu=3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu=3, \nu=2 \end{eqnarray}$ . In der Tat heben sich beide Summanden auf gemäß $\begin{eqnarray} A_{23}x^2 x^3+\underbrace{A_{32}}_{-A_{23}}x^3 x^2=0 \end{eqnarray}$ Allgemein gilt: Die Verjüngung eines antisymmetrischen Tensors $\begin{eqnarray} A_{\mu \nu} \end{eqnarray}$ mit einem symmetrischen Tensor $\begin{eqnarray} S^{\mu \nu} \end{eqnarray}$ verschwindet stets, also $\begin{eqnarray} A_{\mu \nu}S^{\mu \nu }=0 \end{eqnarray}$ . Im vorliegenden Fall lautet der symmetrische Tensor $\begin{eqnarray} S^{\mu \nu}=x^{\mu}x^{ \nu} \end{eqnarray}$
31.01.2017, 17:58	Sabbse922	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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