Fouriertransformation (reell und komplex)

30.01.2017, 22:28

Max Mayer

Fouriertransformation (reell und komplex)

Meine Frage:
Hallo, ich stehe momentan vor einer Aufgabe die mir Kopfzerbrechen bereitet und die Abgabe ist bereits am Mittwoch Nachmittag. Gegeben ist mir die 4-periodische Funktion:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R ; f(x):= \sin(2*\pi x) +\begin{cases}-(x+1)^2+1 ; x\in [-2;0) \\ 0 ; x\in [0;2] \end{cases} \end{eqnarray*}$

Meine Aufgabe:
-Skizzieren (nicht so schwer)
-reelle und komplexe Fourierreihe bestimmen
-herausfinden für welche x die Fourierreihen konvergent sind und wie die Grenzwerte lauten.

Meine Ideen:
um die Fourierreihe zu bestimmen muss ich ja die koeffizienten berechnen.

$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{4}*\int_{-2}^{2} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

hier muss ich doch abschnitt für abschnitt integrieren was dann so aussieht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(\int_{-2}^{0} \! \sin(2\pi x)-(x+1)^2+1 \, dx + \int_{0}^{2} \! \sin(2\pi x) \, dx ) \end{eqnarray*}$
ich bekomme dafür $\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

für die weiteren koeffizienten: $\begin{eqnarray*} \omega = \frac{2\pi }{4} =\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{k}= \frac{2}{4} *\int_{-2}^{2} \! f(x)*\cos(\frac{k\pi x}{2} ) \, dx <br /> \end{eqnarray*}$

Integriere ich wieder abschnitt für abschnitt sieht das so aus:
$\begin{eqnarray*} a_{k}= \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} \! (\sin(2\pi x) -(x+1)^2+1) \cos\frac{k\pi x}{2} x) \, dx + \int_{0}^{2} \! \sin(2\pi x) \cos\frac{k\pi x}{2} x) \, dx \end{eqnarray*}$

und schon bin ich im Rechennirvana angelangt, ich kann zwar mit der beziehung
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha )*\cos(\beta)=\frac{1}{2} (\sin(\alpha -\beta ) +\sin(\alpha +\beta ) ) \end{eqnarray*}$
weiterrechnen jedoch bin ich mir dann unsicher ob ich nicht irgendwas falsch gemacht habe, selbst wolframalha spuckt mir riesenterme aus.
Ist meine Überlegung das integral aufzuteilen falsch?

31.01.2017, 09:02

Steffen Bühler

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)
Willkommen im Matheboard!

Bis jetzt ist (von ein paar überflüssigen x in der letzten Zeile abgesehen) alles richtig. So eine schlimme Funktion gibt natürlich erst mal schlimme Terme, alles andere würde mich wundern.

Da hilft nichts: Zähne zusammenbeißen und alles sorgfältig hinschreiben. Und dann eben jeweils -2, 0 und 2 für x einsetzen. Dann löst sich angenehmerweise so einiges in Wohlgefallen auf.

Viele Grüße
Steffen

31.01.2017, 12:16

IfindU

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)
Eine kleine Überlegung, Sind $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ jeweils 4-periodisch. Dann ist es auch $\begin{eqnarray*} f := g + h \end{eqnarray*}$ und die Fourierkoeffizienten sind linear, d.h. $\begin{eqnarray*} a_k(f) = a_k(g) + a_k(h) \end{eqnarray*}$ , und das gleiche für $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$

Spaltet man hier auf mit $\begin{eqnarray*} g(x) = \sin ( 2 \pi x) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} b_4(g) = 1 \end{eqnarray*}$ und sonst alle anderen Koeffizienten 0, indem man es einfach als Fourierreihe schreiben kann. Interessant ist also nur der zweite Term.

31.01.2017, 16:03

Max Mayer

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)
Nach der Überlegung komme ich für $\begin{eqnarray*} a_{k}(g) =0 \end{eqnarray*}$ , da g(x) ja punktsymmetrisch zum ursprung und somit ungerade ist

für $\begin{eqnarray*} b_{k}(g) =0 \end{eqnarray*}$ da:
$\begin{eqnarray*} b_{k}(g) = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \! \sin(2\pi x)*\sin(\frac{k\pi x}{2}) \, dx = \frac{8\sin(k\pi }{\pi (k²-16)} \end{eqnarray*}$

da k als natürliche zahl von 0 bis unendlich läuft, werden immer nur ganzzahlige vielfache von pi im sinus gebildet, somit bleibt der sinus immer 0

31.01.2017, 16:29

IfindU

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)
Die Rechnung gilt nur für $\begin{eqnarray*} k \neq 4 \end{eqnarray*}$ , da du in deiner Stammfunktion durch 0 teilen würdest. Und ich hätte es ohne Rechnung begründet, aber kannst du natürlich auch so machen.

31.01.2017, 17:41

Max Mayer

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)
wenn ich weiterrechne komme ich auf die folgenden terme:
(jeweils mit integral von -2 bis 0 gerechnet da h(x)=0 für x>=0)

$\begin{eqnarray*} a_{k} (h)=\frac{1}{2}\int_{-2}^{0} \! [-(x+1)^2+1]\cos(\frac{k\pi x}{2}) \, dx = -\frac{4(\pi k-2\sin(\pi k)+\pi \cos(\pi k) }{\pi ^3k^3} \end{eqnarray*}$
mit sinus für ganzzahlige pi : $\begin{eqnarray*} \Rightarrow - \frac{4+ \cos(\pi k) }{\pi ^2k^2} \end{eqnarray*}$

hier kann es aber dann auch kein $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ existieren verwirrt

$\begin{eqnarray*} b_{k}(h) = \frac{8\cos(\pi k)-8}{\pi ^3k^3} \end{eqnarray*}$

ich könnte zwar nun eine Fourierreihe in der üblichen form erstellen aber wirklich glücklich bin ich damit nicht

31.01.2017, 20:59

Steffen Bühler

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)
Setz doch mal ein paar k in $\begin{align*} \cos ( \pi k) \end{align*}$ ein. Fällt Dir nichts auf?

01.02.2017, 15:35

Bango

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)
Sind denn g und h 4-periodisch? ich denke nicht.
g ist eine sinus Funktion was verständlich ist, aber h ist eine Parabel?

01.02.2017, 16:20

Steffen Bühler

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)

Zitat:

Original von Bango
Sind denn g und h 4-periodisch?

Ja. Diese beiden Schwingungen sind definiert:

Und werden zur Gesamtschwingung addiert:

Und die wird nun 4-periodisch fortgesetzt.

01.02.2017, 16:24

Bango

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RE: Fourier transformation (reell und komplex)
Also nur für die Intervalle die angegeben sind. Dann stimmt das so natürlich.
Danke!

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