Limiten berechen

31.01.2017, 16:20

ksgfan

Limiten berechen

Hallo

Kann jemand bitte kontrollieren, ob meine Rechnungen korrekt sind?

a)bestimmen sie die Grenzwerte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{n}{n+2} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{2}{n+2} \right)^n = e^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n+2 = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n(1-\sqrt{1-\dfrac{a}{n}}) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{a}{1+\sqrt{1-\dfrac{a}{n}}} = \dfrac{a}{2} \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie limesinf und limessup:

$\begin{eqnarray*} \limsup (-1)^n \left( \dfrac{6n^2+13n}{5n^3+7} \right) = 0 = \liminf \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \limsup (1+(-1)^n) \left( \dfrac{n+1}{n} \right) + (-1)^n = \limsup 2(-1)^n + 1 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \liminf = -1 \end{eqnarray*}$

c) Bestimmen Sie die Grenzwerte der Funktionen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} \left( \dfrac{(x+1)^3-1}{x} \right) = \lim_{n \to 0} 3(x+1)^2 = 3 \end{eqnarray*}$ mit de l’Hospital

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sin(x^2) \end{eqnarray*}$ existiert nicht, aber limsup = 1 , liminf = -1

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} \left( \dfrac{4^x-1}{8^x-1} \right) = \lim_{n \to 0} \left( \dfrac{e^{ln(4^x})-1}{e^{ln(8^x)}-1} \right) = \lim_{n \to 0} \left( \dfrac{4e^x-1}{8e^x-1} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Liebe Grüsse
Dawid

31.01.2017, 16:35

HAL 9000

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RE: Limiten berechen

Zitat:

Original von ksgfan
a) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{{\color{red}2}}{n+2} \right)^n = e^{-{\color{red}1}} \end{eqnarray*}$

Falsch.

Bei b) schreib doch bitte $\begin{align*} \limsup_{{\color{red}n\to\infty}} \end{align*}$ . Mag ja die wahrscheinlichste Variante sein, sollte dennoch nicht weggelassen werden.

Weiter gehts mit den unsauberen Grenzwertbeschriftungen bei c): Anscheinend meinst du dort $\begin{align*} \lim_{{\color{red}x}\to 0} \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \lim_{{\color{red}x}\to\infty} \end{align*}$ .

Der letzte Grenzwert bei c) ist falsch - der Rest stimmt, sofern man n durch x austauscht.

31.01.2017, 16:47

ksgfan

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RE: Limiten berechen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{n}{n+2} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{2}{n+2} \right)^n = \lim_{t \to \infty} \left(1 -\dfrac{2}{t} \right)^{t^{1/2}}= e^{-2^{1/2}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n+2 = t \end{eqnarray*}$

Ist es nicht korrekt? Wo ist der Fehler?

Hast du vielleicht ein Tip für c ?

Danke
Dawid

31.01.2017, 16:49

HAL 9000

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Da ist der Fehler:

Zitat:

Original von ksgfan
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{2}{n+2} \right)^n = \lim_{t \to \infty} \left(1 -\dfrac{2}{t} \right)^{t^{1/2}} \end{eqnarray*}$

Mit deiner Substitution $\begin{eqnarray*} n+2=t \end{eqnarray*}$ ist schlicht $\begin{eqnarray*} n=t-2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \dfrac{2}{n+2} \right)^n = \lim_{t \to \infty} \left(1 -\dfrac{2}{t} \right)^{t-2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ksgfan
Hast du vielleicht ein Tip für c ?

Richtig rechnen. Es ist rätselhaft, auf Grundlage welcher Rechenregel da plötzlich $\begin{eqnarray*} 4e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 8e^x \end{eqnarray*}$ bei dir auftauchen. Erstaunt1

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