Vollständige Induktion, rekursive Folge

31.01.2017, 16:46

Mimi123

Vollständige Induktion, rekursive Folge

Meine Frage:
Hallo alle zusammen und zwar hab ich hier eine rekursive Folge bei der ich die Monotonie mit Induktion beweisen möchte. Ich weiß nur nicht ganz wie ich das Mathematisch korrekt aufschreibe.
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} a_{1}=0 und a_{n+1}=\frac{1}{4(1-a_{n} )} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Induktionsanfang:
Sei n=1, dann gilt,
$\begin{eqnarray*} a_{2}=\frac{1}{4*(1-0 )}=\frac{1}{4} \geq 0=a_{1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:
Sei n=n+1, dann gilt,

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\geq a_{n} <=> -a_{n+1}\leq -a_{n} <=> (1-a_{n+1}) \leq (1-a_{n}) <=> (1-a_{n+1})/(1-a_{n} )\leq 1 <=> 1/(1-a_{n} )\leq 1/(1-a_{n+1}) <=> 1/4*(1-a_{n+1} \leq 1/4*(1-a_{n}) <=> a_{n+1} \leq a_{n+2} \end{eqnarray*}$

31.01.2017, 17:00

HAL 9000

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An mehreren Stellen in deiner Äquivalenzkette wird implizit $\begin{align*} 1-a_n>0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} 1-a_{n+1}>0 \end{align*}$ genutzt, also umgeschrieben $\begin{align*} a_n<1 \end{align*}$ und $\begin{align*} a_{n+1}<1 \end{align*}$ . Man sollte schon ein paar Worte darüber verlieren, warum das gilt (und man es damit nutzen kann).

P.S.: Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ passt in dieses Schema, und zwar mit $\begin{align*} D=\left[0,\frac{1}{2}\right] \end{align*}$ , $\begin{align*} T(x)=\frac{1}{4(1-x)} \end{align*}$ .

31.01.2017, 17:28

Mimi123

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Hallo HAL 9000, Wink

ich danke dir erstmal für die schnelle Antwort.
Was könnte man denn schreiben weil das ergibt sich bei mir einfach dadurch das ich die jeweiligen Zahlen daran multipliziere? Meinst du vielleicht das ich das begründen soll mit dem Axiom von archimedisch?

31.01.2017, 17:35

HAL 9000

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Ich meine, dass du begründen musst, warum alle $\begin{eqnarray*} a_n<1 \end{eqnarray*}$ sind. Ich halte das nicht für trivial, wie folgendes Beispiel zeigt:

Nehmen wir z.B. mal an, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt sich laut Rekursion $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{4\left(1-\frac{7}{8}\right)} = 2 > 1 \end{eqnarray*}$ . Upps, da haben wir den Bereich verlassen...

31.01.2017, 17:48

Mimi123

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Ok, ich verstehe. Ich soll das damit begründen das die Folge im geschlossenen Intervall von von 0 bis 1/2 ist und somit ist an kleiner eins. Ist das nun richtig?

31.01.2017, 18:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mimi123
Ich soll das damit begründen das die Folge im geschlossenen Intervall von von 0 bis 1/2 ist

Genau, wobei ich es treffender mit bleibt formulieren würde. Augenzwinkern

31.01.2017, 20:18

Mathe<3

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Hallo

Mimi kreativ und schöner weg. ich würde gerne auch meine Lösung zeigen :

zu zeigen : $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\geq a_{n} \end{eqnarray*}$

Ind.Anfang: n=1

$\begin{eqnarray*} a_{2}= \frac{1}{4} > 0 = a_{1} \end{eqnarray*}$

Ind-Schritt : $\begin{eqnarray*} n\Rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen : $\begin{eqnarray*} a_{n+2}\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+2} = \frac{1}{4*(1-a_{n+1} } \geq \frac{1}{4(1-an)}=a_{n+1} \end{eqnarray*}$

da nach Ind- Vor. : $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\geq a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -a_{n+1} \leq -a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1-a_{n+1} \leq 1 -a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 4*(1-a_{n+1}) \leq 4*(1 -a_{n}) \end{eqnarray*}$

deshalb muss der Linke Term größer sein als der Rechte das ist mein Beweis was sagt ihr dazu ?

smile

01.02.2017, 08:31

klarsoweit

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Im Prinzip ok, allerdings funktioniert das nur, wenn a_n < 1 ist. Das müßtest du also noch separat zeigen. smile

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