Man bestimme alle R-linearen Abbildungen: R->R

31.01.2017, 16:46

31.Januar

Man bestimme alle R-linearen Abbildungen: R->R

Meine Frage:
In meinem Buch von Siegfried Bosch Lineare Algebra , welches ich gerade durcharbeite, stehen hinter jedem Kapitel Aufgaben, welche den Stoff verinnerlichen sollen. Ich weiß, damit eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen bestehen kann, müssen zwei axiome gelten:
$\begin{eqnarray*} f(a+b)=f(a)+f(b) \\und \\ f( \lambda a) = \lambda f(a) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich verstehe jetzt die Fragestellung gar nicht. Man bestimme alle R-linearen Abbildungen von R auf R
Wie soll man diese darstellen? In den Lösungen werden viele Aufgaben einfach überspringen, wahrscheinlich zu trivial, ich finde die Aufgabenstellung und Aufgabe überhaupt nicht trivial. Es wäre nett, wenn es mir jemand erklären könnte smile

Nach reichlicher Überlegung, denke ich, dass es nur eine solche Abbildung geben kann. Wieso? Nun ja, es muss eine bijektive Abbildung sein, und alle elemente müssen getroffen werden, damit die Axiome auch gelten. Ich denke es kann sich nur um die identische Abbildung handeln. Wie das jetzt jedoch in einen Beweis formuliert wird, bin ich überfragt, wahrscheinlich über einen widerspruchsbeweis.

31.01.2017, 17:02

005

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RE: Man bestimme alle R-linearen Abbildungen: R->R
In dem Buch werden sicher $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -lineare Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ und die Moeglichkeiten zu ihrer Darstellung besprochen. Das auf den Fall $\begin{eqnarray*} n=m=1 \end{eqnarray*}$ zu spezialisieren sollte tatsaechlich trivial sein.

31.01.2017, 18:32

Helferlein

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Alternativ kannst Du die ja mal ein paar characteristische Werte wie z.b. f(0) und.f(2) oder f(n) berechnen.
Vielleicht entwickelst Du dann eine Idee, wir f(x) aussehen könnte.

31.01.2017, 18:34

31.januar

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trivial :)
Ich habe es mir angeschaut und du hattest recht:
$\begin{eqnarray*} \\f:\mathbb R \to \mathbb R \\(\alpha_{1} ) \to \sum\limits_{k=1}^{1}\alpha_{1} *a_{1} \\i) f(\alpha_{1}+\beta_{1})=\sum\limits_{k=1}^{1}(\alpha_{1}+\beta_{1}) *(a_{1}+b_{1}) \\=\sum\limits_{k=1}^{1}\alpha *a_{1} +\sum\limits_{k=1}^{1}\beta *b_{1} \\=f(\alpha_{1}) + f(\beta_{1}) \\ii) f(\lambda \alpha_{1})=\sum\limits_{k=1}^{1} \lambda \alpha_{1} a_{1} \\=\lambda\sum\limits_{k=1}^{1} \alpha_{1} a_{1} \\=\lambda f(\alpha_{1}) \end{eqnarray*}$
so?

31.01.2017, 19:58

005

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RE: trivial :)
Was ist $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ ? Nachrechnen, dass es wirklich linear geworden ist, brauchst Du eigentlich nicht mehr. Aber eine praegnante Antwort auf die Frage koenntest Du noch geben: Wie sehen denn jetzt alle linearen Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aus?

31.01.2017, 20:17

31.Januar

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RE: trivial :)

Zitat:

Original von 005
Was ist $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ ?

Ich muss ja überprüfen $\begin{eqnarray*} f(\alpha + \beta) \end{eqnarray*}$ nun wird ja $\begin{eqnarray*} \alpha \to \sum\limits_{k=1}^{1}\alpha *a_{1} \end{eqnarray*}$ abgebildet und $\begin{eqnarray*} \beta \to \sum\limits_{k=1}^{1}\beta *b_{1} \end{eqnarray*}$ daher das $\begin{eqnarray*} b_{1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 005
Nachrechnen, dass es wirklich linear geworden ist, brauchst Du eigentlich nicht mehr.

Warum denn nicht? Weil man alle K-linearen Abbildungen bestimmen soll und die axiome dann sowieso gelten müssen?

Zitat:

Original von 005
Wie sehen denn jetzt alle linearen Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aus?

Ahm...

31.01.2017, 20:37

005

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RE: trivial :)
Ich gehe davon aus, dass Du Dich in Deiner Formel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R \\(\alpha_{1} ) \to \sum\limits_{k=1}^{1}\alpha_{1} *a_{1} \end{eqnarray*}$

auf ein Ergebnis aus Deinem Buch beziehst? Welches denn genau? Was ist $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ , was ist $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ? Ein $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ kommt jedenfalls nicht vor.

31.01.2017, 22:40

31.Januar

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Re
ja genau, also im Buch hab ich nachgeschaut, da ist für K-Körper. Für n,m $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb K^{n} \to \mathbb K^{m} \end{eqnarray*}$ kann man ein system betrachten, also eine Matrize der Form:
$\begin{eqnarray*} (\lambda_{i,j})=\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & ... & \lambda_{1,n} \\: & : & : \\ \lambda_{m,1} & ... & \lambda_{m,n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ von Elementen aus K. Dann wird durch
$\begin{eqnarray*} \mathbb K^{n} \to \mathbb K^{m} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (\alpha_1 , ... ,\alpha_n) \to (\sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_{1,j} \alpha_{j},...,\sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_{m,j} \alpha_{j}) \end{eqnarray*}$ eine K-Lineare Abbildung geben.
Ich dachte:
$\begin{eqnarray*} f(\alpha_1)=(\sum\limits_{k=1}^{1} \lambda_{1} \alpha_{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\beta_1)=(\sum\limits_{k=1}^{1} \lambda_{1} \beta_{1}) \end{eqnarray*}$
ich denke die indizes können auch weg.
Dann prüfe ich ob $\begin{eqnarray*} f(\alpha + \beta)=(\sum\limits_{k=1}^{1} \lambda \alpha + \sum\limits_{k=1}^{1} \lambda \beta) \end{eqnarray*}$ gilt?

31.01.2017, 23:03

005

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Es koennen nicht bloss die Indizes weg (bei denen Du Dich offensichtlich vertan hast), sondern auch die Summenzeichen. Wozu schreibst Du die noch, wenn die Summe aus genau einem Summanden besteht? Dann hat man als Ergebnis laut Deinem Buch $\begin{eqnarray*} f(\alpha)=\lambda\alpha \end{eqnarray*}$ raus. Verstaendnisfrage: Was ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und was ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

31.01.2017, 23:10

31.Januar

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Re
hab ich mir schon gedacht, das mit den Summen, also Lambda ist ein Skalar aus dem Körper also R. und alpha auch im Grundegenommen, auch ein Element von R auf R. Sobald ich das verstanden habe.

01.02.2017, 12:23

32. Januar

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Re:
soviel zu trivial... Also das Lambda ist einfach nur ein skalar und das alpha ist das abgebildete objekt.

Danke schonmal für die ganze Mühe die du dir gemacht hast smile

01.02.2017, 16:43

32. Januar

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Re:
Kann mir jemand bitte ausführlich erklären wie das geht?

Danke an alle smile

01.02.2017, 16:53

Elvis

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Das ist völlig trivial. $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R,x\mapsto y=f(x) \end{eqnarray*}$ ist genau dann linear, wenn es ein $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} y=\alpha\cdot x \end{eqnarray*}$

01.02.2017, 17:19

32. Januar

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Re:
Ok, scheint wirklich einfach zusein.

Nicht böse werden, aber.. Ich verstehe das es so sein muss (jetzt verstehe ich es)
Ich frage mich ob das so als antwort reichen würde, muss man nicht noch formal beweisen, dass es so ist?
Oder reicht es das man das so schreibt? Wenn es so ist dann ist es so?

Danke Elvis.

01.02.2017, 18:05

Elvis

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Das ist genau so trivial zu beweisen, wie es trivial ist, denn sonst wäre es nicht trivial. Wenn Du den Beweis nicht problemlos hinschreiben kannst, dann darfst Du nicht glauben und nicht behaupten, es sei trivial.

Der logische Ausdruck "genau dann, wenn" bedeutet, dass man zwei kleine Beweis führen muss, nämlich:
1. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear, dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\alpha\cdot x \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} f(x)=\alpha \cdot x \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear

Bei welcher Richtung hast Du ein Problem ?

01.02.2017, 19:41

31. Januar

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Re:
$\begin{eqnarray*} \subset\\ \end{eqnarray*}$
Sei f linear, dann gilt per definition:
1. $\begin{eqnarray*} f(x+z)=f(x)+f(z) \,\,\,\, \forall x,z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
und es gilt
2. $\begin{eqnarray*} f( \alpha x)= \alpha f(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=\alpha x \,\,\,\, \forall x,\alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \supset \end{eqnarray*}$
Sei f(x):= $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ x gegeben, sei weiterhin $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb K = \mathbb R \, und\, x = \mathbb R \end{eqnarray*}$
Da die Addition und Multiplikation im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Körper wohldefiniert ist, da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} f(x+z)=f(x) + f(z)\,\,\,\, \forall x,z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(\lambda x)=\lambda f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ das f linear ist $\begin{eqnarray*} . \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \,\,\, \Box \end{eqnarray*}$

01.02.2017, 20:01

Elvis

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Du schreibst hier nur die Behauptungen hin, von einem Beweis ist nichts zu erkennen. Für dich ist das anscheinend doch nicht trivial. Vorschlag: arbeite weiter daran.

01.02.2017, 20:05

31.Januar

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Re: Elvis
auf jedenfall, muss ich ja. Kannst du mir die korrekte form zeigen?

01.02.2017, 22:18

Elvis

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1. f linear, dann gilt für alle reellen x
f(x)=f(x*1)=x*f(1)=f(1)*x

2. f(x)=a*x, dann gilt für alle reellen b,c,u,v
f(bu+cv)=a(bu+cv)=bau+cav=bf (u)+cf (v)

... wie gesagt: trivial

02.02.2017, 00:18

32. Januar

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Re:Elvis
Vielen Dank für die Hilfe Elvis auch danke an 005 Big Laugh

und auch danke an alle deren nerven ich strapazierte Big Laugh

02.02.2017, 08:08

Elvis

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Hast Du den Beweis verstanden ? Kannst Du Frage und Antwort nun mit eigenen Worten formulieren ? Hast Du begriffen, was das für den Graphen linearer Funktionen in der cartesischen Ebene bedeutet ? Ist dir klar geworden, dass die Beweisidee auf dieser Anschauung beruht ?

02.02.2017, 14:40

33.Januar

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Re:Elvis
Nein, ich wäre nicht darauf gekommen diese aussagen zu formulieren, obwohl mir die gültigkeit einleuchtet:

Zitat:

Original von Elvis
1. f linear, dann gilt für alle reellen x
f(x)=f(x*1)=x*f(1)=f(1)*x

Ich verstehe das geschriebene. Also es gilt, wenn du eine Abbildung hast, das du das Argument abbildest in die Zielmenge. Und dieser Wert, ist klar definiert und fest für jedes beliebige x. Nun zeigst du das du auch zuerst auf 1 abbilden kannst und dann das argument x außen vor behandelst, also zuerst auf eins abbilden kannst, dann die schritte auf x gehen. So in beiden fällen im selben Punkt landest. Aber warum muss man das zeigen? Das gilt doch immer bei jeder Funktion/Abbildung und es ist ja angenommen das f linear ist, also eine Abbildung, mit vorgeschriebener Bildungsvorschrift, wie auch immer diese Aussieht. Also existiert f(x) doch... :/

Andernfalls sehe ich ein das du sagst f ist linear, dann gilt nur noch anscheinend zu zeigen, dass f eine Abbildung ist?

Zitat:

2. f(x)=a*x, dann gilt für alle reellen b,c,u,v
f(bu+cv)=a(bu+cv)=bau+cav=bf (u)+cf (v)

Hier zeigst du die Gültigkeit der Axiome im Vektorraum in bezug auf die Abbildung f. Also Distributivität/Kommutativität/Assoziativität. Im Grunde genommen Axiom 1.&2. zusammengefasst.

Zitat:

Hast Du begriffen, was das für den Graphen linearer Funktionen in der cartesischen Ebene bedeutet ? Ist dir klar geworden, dass die Beweisidee auf dieser Anschauung beruht ?

Nun ja, das kartesische Produkt ist RxR hier, entspricht einem 2-Tupel, das sind die Punkt des Graphen. Somit sind diese wohldefiniert und auch geordnet in der Kartesischen Ebene....

Vielen Dank

02.02.2017, 18:42

Elvis

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Leider ist das so, wie ich es erwartet habe. Ich habe deinem Wunsch entsprechend bewiesen, weil Du selbst es nicht konntest, dass die linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ genau die reellen Funktionen sind mit der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=\alpha\cdot x \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Deiner letzten Antwort entnehme ich, dass Du den Beweis weder in der einen noch in der anderen Richtung verstehst, ja nicht einmal als notwendig erkennst. Über die Geometrie von Euklid bis Descartes offenbarst Du auch eine erstaunliche Unkenntnis, die nach einem normalen Schulbesuch eigentlich unmöglich ist. Ich nehme dann einfach mal an, dass Du auch nichts über die Entwicklung der Geometrie in den letzten 300 Jahren gehört hast. Gehst Du noch zur Schule, Anfang der Mittelstufe ? Da wir uns hier mit Hochschulaufgaben befassen, hatte ich ursprünglich angenommen, dass Du Mathematik an einer Universität studierst, mit mathematischen Grundbegriffen vertraut bist und die Grundlagen der Logik und Beweistechnik kennst.

03.02.2017, 12:20

34. Januar

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Re: Elvis
Vielen dank für deine Hilfe.

Du bist mir ja einer... Also so führe ich kein Gespräch.

Zitat:

Über die Geometrie von Euklid bis Descartes offenbarst Du auch eine erstaunliche Unkenntnis, die nach einem normalen Schulbesuch eigentlich unmöglich ist. Ich nehme dann einfach mal an, dass Du auch nichts über die Entwicklung der Geometrie in den letzten 300 Jahren gehört hast. Gehst Du noch zur Schule, Anfang der Mittelstufe ? Da wir uns hier mit Hochschulaufgaben befassen, hatte ich ursprünglich angenommen, dass Du Mathematik an einer Universität studierst, mit mathematischen Grundbegriffen vertraut bist und die Grundlagen der Logik und Beweistechnik kennst

Schade ich hatte mich schon auf deine Erklärung gefreut. Was findest du eigentlich wichtiger? Motivation oder Wissen? Denk mal darüber nach und unter diesem Gesichtspunkt hat deine Aussage verheerende Auswirkungen mein lieber Elvis. Zum Glück nehm ich mir sowas nicht zu herzen, wer weiß schon warum du jemanden der Erklärungsbedarf hat, so behandelst.

Für mich ist dieser Thread geschlossen.

03.02.2017, 13:19

Elvis

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Tut mir leid, war nicht böse gemeint. Wenn du noch ein Schüler wärst, hätte ich dir weitere Erklärungen gegeben.

03.02.2017, 15:06

HAL 9000

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Ich kann Elvis nur meiner Solidarität versichern. Im Sinne bravster political correctness immer alles runterschlucken, da erstickt man irgendwann - von Zeit zu Zeit muss es raus.

Und ich bitte 34.Januar, es doch nicht so persönlich zu nehmen - es hätte viele andere auch treffen können, aber man kann nicht in jedem passenden Thread sich mal so von der Seele reden, was sich in einem schon länger aufgestaut hat.

03.02.2017, 20:42

Helferlein

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Um die Wogen mal ein wenig zu glätten: Elvis Ton war sicherlich nicht der netteste, aber die Reaktion ist durchaus verständlich, wenn man bedenkt, dass er Dir den Beweis schon vorgelegt hat und Du im Posting vom 02.02.17, 14:40 mit der Aussage "Ich verstehe das geschriebene" beginnst, dann aber doch mit jedem Wort zeigst, dass Du eigentlich nichts von dem verstanden hast, was er Dir vorgerechnet hat. Allein schon der Begriff der Linearen Funktion taucht in der Mittelstufe bereits auf. Einen Zusammenhang zu den hier betrachteten linearen Abbildungen erscheint da naheliegend.

Es ist verständlich und völlig normal, wenn man am Anfang seines Studiums mit einer Mathematik konfrontiert wird, die so völlig anders zu sein scheint, wie die Mathematik, die man in der Schule gezeigt bekommen hat. Man muss eigene Beweise finden und lernen, sich mit abstrakten Strukturen und Aussage zu befassen, um diese dann auch noch zu beweisen. Eine noch so logisch erscheinende Aussage ist nutzlos, wenn man sie nicht nachweisen kann. Hilfreich ist es hierbei oft sich die Sache erst einmal in einfacheren Fällen vorzustellen, wie hier der Begriff der linearen Abbildungen auf dem Vektorraum $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ .

Das Problem ist nun, dass Du den Beweis schon geliefert bekommen hast und eigentlich nur eine Begründung für jeden Einzelschritt finden musst, um den Beweis zu verstehen. Dabei wird die Vorsetzung der Aussage sicherlich irgendwo verwendet werden müssen.
Wenn Du trotz der hier geäußerten Kritik noch Lust hast versuchen wir es einmal auf diesem Weg:

Welche der beiden Aussagen kannst Du begründen und wie?

1) $\begin{align*} f(x)=f(x\cdot 1) \end{align*}$
2) $\begin{align*} f(x\cdot 1)=x\cdot f(1) \end{align*}$

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