Funktion stetig machen

31.01.2017, 21:03

Nullstelle2016

Funktion stetig machen

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

ist es möglich, den Wert f(0,0) so zu wählen, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{e^{x+y}-x-y-1}{x^{2} +y^{2} } ,(x,y)e\mathbb R \end{eqnarray*}$ \x=y=0

a) stetig in (0,0) wird.
b) die partielle Ableitung f´x(0,0) besitzt.

Ich habe zwar beide Lösungen schon aus der Übung, aber verstehe den Lösungsansatz nicht ganz.
In a) haben wir einmal lim x gegen 0 für f(x,0) und für f(x,x) (für y=x was ja bei f(0,0) der Fall ist) laufen lassen und als Ergebnis (l Hospital) zwei unterschiedliche Grenzerte heraus bekommen. Ergo ist kein f(0,0) wählbar, dass f(x,y) an der Stelle f(0,0) stetig werden würde.

in b.) haben wir dann den Differenzenquotienten gebildet mit
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(t,0)-f(0,0)}{t} \end{eqnarray*}$ und nach f(0,0) umgeformt.

In diesem Punkt verstehe ich nicht, dass wir überhaupt f(t,0) nehmen dürfen, da wir ja in Teil a) gesehen haben, dass wenn man zB f(t,t)nehmen würde, ein anderer Quotient rauskommen würde.

Meine Ideen:
Ich habe jetzt beide Versionen gerechnet. Laut Lösungsvorgabe muss f(0,0)=1/10 rauskommen.
Wenn ich jetzt f(t,t) einsetze und den lim vom Differenzenquotienten berechne ist er aber (wie erwartet) anders und es kommt f(0,0)=-1/5 raus

31.01.2017, 22:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nullstelle2016
In diesem Punkt verstehe ich nicht, dass wir überhaupt f(t,0) nehmen dürfen

Wieso nicht? Gehe bitte streng nach der Definition der Ableitung: In diesem Fall der partiellen Ableitung heißt das, dass die anderen Variable (hier dann y) konstant gehalten wird, hier speziell konstant gleich Null.

Natürlich bedarf es noch einer Festlegung von $\begin{align*} f(0,0) \end{align*}$ . Wie wir aus a) wissen, ist das nicht möglich, so dass $\begin{align*} f \end{align*}$ in $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ stetig ist - aber vielleicht ist es ja zumindest möglich, es so zu wählen, dass $\begin{align*} x\mapsto f(x,0) \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ stetig, und womöglich sogar differenzierbar ist...

01.02.2017, 09:46

Nullstelle2016

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okay danke für die Info! Ich wusste nicht, dass das die Definition ist für die Ableitung nach x smile

01.02.2017, 10:45

Nullstelle2016

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ich habe noch eine Frage zu der gleichen Aufgabe.

In Teil c.) wurde gefragt : ist es möglich f(0,0) so zu wählen, dass die Funktion die Richtungsableitung $\begin{eqnarray*} D_{v}f(0,0) \end{eqnarray*}$ für v=(-1,2) besitzt?

in der Lösung wurde dann mit der Definition der Richtungsableitung gearbeitet.

Es wurde $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(-t,2t)-f(0,0)}{t} \end{eqnarray*}$ nach f(0,0) aufgelöst.

Hierzu habe ich die Frage ob man nicht f(-t,2t) eigentlich noch normieren muss?
Weil in der Definition steht, dass es so gemacht werden müsste. dann kommt auch ein anderer Quotient raus geschockt

01.02.2017, 10:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nullstelle2016
Es wurde $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(-t,2t)-f(0,0)}{t} \end{eqnarray*}$ nach f(0,0) aufgelöst.

Gleichungen kann man lösen (auflösen), Terme nicht. Es ist wohl eher so, dass dort $\begin{eqnarray*} f(0,0) := \lim_{t \to 0} f(-t,2t) \end{eqnarray*}$ festgelegt wurde, d.h. für Funktion $\begin{eqnarray*} t \mapsto f(-t,2t) \end{eqnarray*}$ Stetigkeit im Punkt $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ hergestellt wurde.

01.02.2017, 11:10

Nullstelle2016

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ja genau das meinte ich.

aber dennoch habe ich die Frage was mit dem Vektor ist.
Ich hätte jetzt gedacht man muss statt

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(-t,2t)-f(0,0)}{t} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{f(-t/\sqrt{5} ,2t/\sqrt{5} )-f(0,0)}{t} \end{eqnarray*}$
einsetzen, also den normierten Vektor wie in der Definition
und dann schaut man wann genau

$\begin{eqnarray*} f(0,0) := \lim_{t \to 0} f(-t/\sqrt{5} ,2t/\sqrt{5} ) \end{eqnarray*}$ ergibt.

01.02.2017, 11:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nullstelle2016
$\begin{eqnarray*} f(0,0) := \lim_{t \to 0} f(-t/\sqrt{5} ,2t/\sqrt{5} ) \end{eqnarray*}$ ergibt.

Das ist dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} f(-t,2t) \end{eqnarray*}$ , ob man den Richtungsvektor nun noch streckt oder staucht, ändert den Grenzwert (sofern überhaupt existent) nicht.

Für die Richtungsableitung dann spielt es aber sehr wohl eine Rolle, weswegen ich dein

Zitat:

Original von Nullstelle2016
einsetzen, also den normierten Vektor wie in der Definition

nicht so ganz verstehe: Von welcher Definition sprichst du? So wie ich die Defintion der Richtungsableitung kenne

https://de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung

wird da keine Normierung der Richtung zwingend vorausgesetzt, d.h., der Ableitungswert ist bei ansonsten gleicher Richtung sehr wohl von der Norm des Richtungsvektors abhängig! Deswegen macht es natürlich Sinn, beim Vergleich mehrerer Richtungen grundsätzlich nur mit normierten Richtungsvektoren zu arbeiten. Aber es steckt nicht primär in der Definition der Richtungsableitung, dass die Richtung von vornherein normiert werden muss. Kann natürlich sein, dass das bei euch anders gehandhabt wird, deswegen ja meine Frage nach deiner Definition.

01.02.2017, 12:18

Nullstelle2016

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okay jetzt bin ich echt überrascht. In dem Mathebuch (was nicht zur Vorlesung gehört) steht tatsächlich eine andere Definition drin. Dann wäre alles klar.
Ich hab es mal im Anhang hochgeladen.

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