Grenzwert beweisen

01.02.2017, 10:57	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert beweisen Hallo, Sei $\begin{eqnarray} (p_{n})_{n\in N}, (q_{n})_{n\in N} \end{eqnarray}$ Folgen mit Werten in $\begin{eqnarray} N \backslash{0} \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\dfrac{p_{n}}{q_{n}} = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}q_{n}=\infty \end{eqnarray}$ Ich weiss nicht genau, was ich machen sollte. Ich habe versucht : $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}a_{n}= \lim_{n \to \infty}\dfrac{p_{n}}{q_{n}} = \dfrac{p}{q} = a = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ aber ich habe keinen Plan, wie man weiter gehen sollte... Liebe Grüsse Dawid
01.02.2017, 14:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert beweisen Angenommen nicht, dass existiert eine Teilfolge s.d. $\begin{eqnarray} q_{n_k} \end{eqnarray}$ beschränkt ist, also eine weitere Teilfolge $\begin{eqnarray} n_{k_l} \end{eqnarray}$ s.d. ein Grenzwert $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \lim_{l \to \infty} q_{n_{k_l}} = q \end{eqnarray}$ . Begründe warum $\begin{eqnarray} q\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und, dass $\begin{eqnarray} \lim_{l\to\infty} \frac{ p_{n_{k_l}} } { q_{n_{k_l}} } = \sqrt 2 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass die Teilfolge von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ beschränkt ist, insb. eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert $\begin{eqnarray} p\in \mathbb N \end{eqnarray}$ besitzt. Versuche damit einen Widerspruch zu erzeugen.
02.02.2017, 15:23	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert beweisen Beweis per Widerspruch: Nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray} (q_n)_{n\in N} \end{eqnarray}$ konvergiert. Das heisst, sie besitzt eine beschränkte Teilfolge $\begin{eqnarray} (q_{n_k})_{k\in N} \end{eqnarray}$ , deren Teilfolge $\begin{eqnarray} (q_{n_{k_h}})_{h\in N} \end{eqnarray}$ gegen einen Grenzwert q konvergiert. Da $\begin{eqnarray} (q_{n_{k_h}})_{h\in N} \end{eqnarray}$ nur Werten in $\begin{eqnarray} \mathbb{N}\backslash{0} \end{eqnarray}$ annimmt, ist $\begin{eqnarray} q \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Wir haben auch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \dfrac{(p_n)}{(q_n)} = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} (p_n) \end{eqnarray}$ konvergiert. Ausserdem gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} {p_{n_{k_h}}} = p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Wir haben also $\begin{eqnarray} \lim_{h \to \infty} \dfrac{p_{n_{k_h}}}{q_{n_{k_h}}} = \dfrac{p}{q} = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p,q \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , was ein Widerspruch ist, da $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ eine irrationale Zahl ist. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} (q_n)_n = \infty \end{eqnarray}$ Stimmt es so ? Liebe Grüsse Dawid
02.02.2017, 17:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert beweisen Das Gegenteil zur bestimmten Divergenz ist nicht die Konvergenz. D.h. du nimmst nur an, dass $\begin{eqnarray} q_n \end{eqnarray}$ nicht bestimmt gegen unendlich divergiert. Damit existiert eine konvergente Teilfolge. Wenn du sofort annimmst, dass $\begin{eqnarray} q_n \end{eqnarray}$ konvergiert, musst du natuerlich keine Teilfolge nehmen. Und aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray} q_n \end{eqnarray}$ folgt nicht ohne weiteres die Konvergenz von $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ . Bis auf Teilfolgen kannst du das aber alles folgern, und das ist alles was du brauchst.
02.02.2017, 18:12	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »