Stetigkeit von Funktionen |
| 01.02.2017, 16:38 | Jnso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stetigkeit von Funktionen Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe (Bild im Anhang!) in Analysis 1 in Mathematik für Physiker nicht weiter, da ich im Umgang mit Folgen im Allgemeinen noch nicht so wirklich vertraut bin. Ich bin mir relativ sicher, dass die Aufgabe wesentlich leichter zu lösen ist, wenn man sich in dem Gebiet sicher fühlt. 
Meine Ideen: Ich weiß, dass x_n den Bereich der reellen Zahlen abdeckt, also für n -> unendlich x_n keinen Grenzwert besitzt. Die Definitionsmenge ist also gleich der Menge der reellen Zahlen (da die Funktion entweder für die irrationalen oder die rationalen Zahlen einen Wert ausgibt). Der Ansatz sollte jetzt sein sich an die irrationalen Zahlen jeweils von links bzw rechts anzunähern und zu überprüfen, was in diesem Fall (also wenn x_n -> irrationale Zahl wie zB Pi) für R(x_n) = 1/n, wobei x_n = m/n passiert und ob bei entsprechender Annäherung eben R(x_n) = R(x). Mein Problem ist, wie ich jetzt für alle Annäherungen an beliebige irrationale Zahlen zeigen kann, dass das der Fall ist oder eben nicht. Und da ich mit Folgen wie gesagt noch nicht vertraut bin, weiß ich auch nicht wie ich so eine Annäherung allgemein formulieren oder betrachten kann. Bin über jede Hilfe sehr dankbar und sage schonmal vielen Dank im Voraus. 
Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon geantwortet wird. Steffen |
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| 01.02.2017, 20:37 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß nicht, wo das Problem bei der Aufgabe sein soll: Zeige, dass die Funktion im Punkt unstetig ist, damit ist sie insgesamt unstetig. Und das sollte schnell erledigt sein angesichts der Tatsache, dass sich in jeder Umgebung der 1 irrationale Zahlen finden. Deutlich anspruchsvoller wäre die erweiterte Fragestellung
aber die lese ich da nicht.
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| 02.02.2017, 16:45 | Jnso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist mir gestern bei der Diskussion mit einem Kommilitonen auch aufgefallen. Es gibt ja durchaus Intervalle in denen R stetig ist. Es lassen sich aber wirklich relativ einfach Punkte finden in denen R nicht stetig ist und das ist ja alles was gefragt ist. Danke anyways! 
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| 02.02.2017, 16:55 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die gibt es nicht. Es gibt einzelne Punkte, in denen R stetig ist, aber kein zusammenhängendes Intervall. Oder schleichen wir mal nicht wie die Katze um den heißen Brei: Die Funktion ist stetig in allen irrationalen Punkten sowie 0, und sie ist unstetig in allen rationalen Punkten außer 0. Beide Mengen liegen dicht in , so dass es keine Intervalle positiver Länge gibt, in denen R durchgehend stetig bzw. durchgehend unstetig ist. Das ist ein Beispiel, das sich der bildlichen, landläufigen Vorstellung der Stetigkeit entzieht - hier geht es knallhart nach Definition.
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