Endomorphismus erzeugt UVR

02.02.2017, 14:59

Giina25

Endomorphismus erzeugt UVR

Meine Frage:
Hallo, ich komm bei dieser Aufgabe leider nicht weiter:

Sei f: V-> Vein Endomorphismus und lambda Element K: Zeigen Sie, dass die Menge F(f, lambda) ={v Element V/es gibt ein n>=0 mit (f-lambda idV)^n(v)=0} ein Untervektorraum von V ist. Geben Sie ein Beispiel an für einen Endomorphismus f mit E(f, lambda) ungleich F(f, lambda)

Meine Ideen:
Meine Ideen: zum UVR nachrechnen setze ich einmal statt v z.B. Alpha v ein mit alpha Element K und zeige dass es immernoch 0 ist über die Linearität, zur Addition setzte ich statt v z.B. v+w ein und zerlege es in (f-lambdaV)^n(v)+f-lambda idV)^n(w)=0+0=0 allerdings weiß ich hier nicht, ob es für dassselbe n für alle v Element V gelten muss bzw. wie ich die Addition beweisen kann, wenn es für jeden Vektor ein eigenes n gibt.

Beim Beispiel habe ich leider noch keine Ideen, ein kleiner Denkanstoß wäre nett Augenzwinkern

02.02.2017, 17:58

Elvis

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Du hast uns verschwiegen, dass mit E(f, lambda) ein Eigenraum gemeint ist - das war aber nicht schwer zu erraten. F(f, lambda) nennt man dann Hauptraum - und deine Fragen beantwortet Wikipedia ( https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum ).

02.02.2017, 18:23

jester.

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Zitat:

zur Addition setzte ich statt v z.B. v+w ein und zerlege es in (f-lambdaV)^n(v)+f-lambda idV)^n(w)=0+0=0 allerdings weiß ich hier nicht, ob es für dassselbe n für alle v Element V gelten muss bzw. wie ich die Addition beweisen kann, wenn es für jeden Vektor ein eigenes n gibt.

Die Definition für $\begin{eqnarray*} F(f,\lambda) \end{eqnarray*}$ , die du angegeben hast, gibt erstmal nicht her, dass für jeden Vektor das gleiche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ funktioniert. Man müsste das also ggf. beweisen, was hier aber nicht nötig ist.
Betrachte also $\begin{eqnarray*} v,w \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (f-\lambda\mathrm{id})^m(v) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f-\lambda\mathrm{id})^n(w)=0 \end{eqnarray*}$ . Du musst dann ein $\begin{eqnarray*} \ell\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finden, das die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} (f-\lambda \mathrm{id})^\ell (v+w) \end{eqnarray*}$ hat.
Beachte nun, um ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \ell \end{eqnarray*}$ zu finden, dass für $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nicht nur die natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ funktioniert, sondern auch jede größere Zahl - denn jede lineare Abbildung schickt den Nullvektor auf den Nullvektor.

Zitat:

Beim Beispiel habe ich leider noch keine Ideen, ein kleiner Denkanstoß wäre nett Augenzwinkern

Versuche mal, eine $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrix zu finden, die nur einen Eigenwert hat, und einen eindimensionalen Eigenraum zu diesem Eigenwert. Hinweis: Obere Dreiecksmatrix, die keine Diagonalmatrix ist.

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