Grenzwerte Beweis

03.02.2017, 10:53	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte Beweis Hallo, Kann jemand bitte wieder kontrollieren ? Vielen Dank. Sei $\begin{eqnarray} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_n = \dfrac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n kx_k \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (x_n) \rightarrow a \Rightarrow S_n \rightarrow a \end{eqnarray}$ und Zeigen Sie dagegen(mit einem Beispiel), dass die Konvergenz von $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ nicht aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ folgt. Beweis: $\begin{eqnarray} a_n := \dfrac{2n}{n(n+1)} \end{eqnarray}$ Mit dem Quotientenkriterium erhalten wir: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \dfrac{2(n+1)n(n+1)}{(n+1)(n+2)2n} = 1 \end{eqnarray}$ Nach Grenzwertgesetze haben wir: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}(a_n) (x_n)= \lim_{n \to \infty} a_n \lim_{n \to \infty}x_n = 1 a = a \end{eqnarray}$ Gegenbeispiel: Sei $\begin{eqnarray} b_n := \dfrac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n kx_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_k =(-1)^k \end{eqnarray}$ . Die Reihe konvergiert nach Leibnitz Kriterium, aber $\begin{eqnarray} (x_k) \end{eqnarray}$ divergiert. Liebe Grüsse Dawid
03.02.2017, 11:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotientenkriterium? Was hat das denn damit hier zu tun? Außerdem ist $\begin{align} \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{n(n+1)} = 0 \end{align}$ statt 1, und es ist auch nicht klar, was $\begin{align} a_nx_n \end{align}$ mit $\begin{align} S_n \end{align}$ zu tun hat - kurzum: Dein "Beweis" ist von vorn bis hinten ein großes Mysterium. Dein Gegenbeispiel ist in Ordnung, aber aus anderen Gründen: Die Begründung mit Leibnizkriterium ist Humbug. Der wirkliche Beweis kann z.B. mit ähnlicher Technik wie der des Cauchyschen Grenzwertsatzes erfolgen. Wenn ich genauer drüber nachdenke: Wenn man eine passende "Zwischenfolge" konstruiert, ist die Aussage hier sogar durch direkte Anwendung des Cauchyschen Grenzwertsatzes beweisbar.
07.02.2017, 13:46	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe erst heute gemerkt, dass es um eine Folge,nicht Reihe geht ... Lieber später als nie Sei $\begin{eqnarray} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_n = \dfrac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n kx_k \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (x_n) \rightarrow a \Rightarrow S_n \rightarrow a \end{eqnarray}$ Beweis: Sei $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ eine Folge, welche nach $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ konvergiert. Sei $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ die Folge $\begin{eqnarray} c_n := x_n - a \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}c_n = 0 \end{eqnarray}$ rechnen wir $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty}\dfrac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n kx_k = \lim_{n \to \infty}\dfrac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n k (c_k + a) = \lim_{n \to \infty}\left( \dfrac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n k c_k \right) + a = a \end{eqnarray}$ Ist es so besser? Liebe Grüsse Dawid
07.02.2017, 14:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Insgesamt macht die Form der Darstellung Fortschritte, der Inhalt leider nicht: Das in der allerletzten Gleichheit benutzte $\begin{align} \lim_{n \to \infty}\left( \dfrac{2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n k c_k \right) = 0 \end{align}$ hast du nicht begründet - leider steckt darin aber die Essenz der Aufgabe (über 90%).

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