Pos. Def & Symm. Bilinearform

03.02.2017, 15:07	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Pos. Def & Symm. Bilinearform Hallo, Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}2&0&-2\\0&25&-15\\-2&-15&29\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass die Bilinearform $\begin{eqnarray} b(x,y)=x^tAy \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ symmetrisch und positiv definit ist. Lösung: $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ist pos. def falls $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ pos def. ist. Mittels Hauptminorenkriterium bekommen wir: $\begin{eqnarray} det(2)>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(\begin{pmatrix}2&0\\0&25\end{pmatrix}>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det\begin{pmatrix}2&0&-2\\0&25&-15\\-2&-15&29\end{pmatrix}>0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ pos. def und somit auch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Da weiter $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ symmetrisch ist, ist auch $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ symmetrisch. Frage: Klapt das so?
03.02.2017, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann nicht sehen, dass A symmetrisch ist.
03.02.2017, 18:42	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, ich habe den Beitrag wohl nicht mehr korrekturgelesen. Mir ist eine 5 entgangen. Jetzt stimmts.

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