Dualbasis finden

03.02.2017, 14:18	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualbasis finden Hallo, $\begin{eqnarray} Q:=\{ A \in M_{2,2}(\mathbb C ) \| A=\begin{pmatrix}a&b\\-\bar{b}&\bar{a}\end{pmatrix} \ \text{für gewisse} \ a,b\in\mathbb C\} \end{eqnarray}$ Folgendes stellt eine Basis für $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} B=(b_1,b_2,b_3,b_4)=\bigg(Id_2, \begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}\bigg) \end{eqnarray}$ Gesucht ist die dazu duale Basis $\begin{eqnarray} B^{} \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} B^{} = (x_1, x_2, x_3, x_4) \end{eqnarray}$ Ansatz: $\begin{eqnarray} x_i=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x_1(b_1)=a+d=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1(b_2)=ai-di=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1(b_3)=b-c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1(b_4)=ib+ic=0 \end{eqnarray}$ Wir bekommen: $\begin{eqnarray} a=d=1/2, b=c=0 \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} x_1=\begin{pmatrix}1/2&0\\0&1/2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Und so weiter für die anderen 3 Basisvektoren) Frage: Generell fühle ich mich sicher eine Dualbasis zu berechnen. Ich würde aber gerne wissen, ob der Weg oben so passt. Vorallem das mit dem Ansatz. Passt das, wenn ich das alles so hinschreiben oder ist das unschön? Danke

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