Frage über Divisoren und Stellen elliptischer Kurven

03.02.2017, 16:32	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage über Divisoren und Stellen elliptischer Kurven Hallo allerseits, ich würde mich freuen, wenn sich jemand (oder mehrere) kurz die Zeit nimmt und auf meine Fragen antwortet. Es müssen nicht alle beantwortet werden, jede Antwort hilft. Einige Fragen bedürfen auch nur ein kurzes "Ja" oder "Nein". Ich arbeite derzeit diese Diplomarbeit [1] durch. Dort wird in 2.5.1 ein Divisor definiert. Nach dieser Definition ist er die Summe aller Stellen der Kurve. Stellen (Definition 2.4.13) sind Äquivalenzklassen von Bewertungen. (Wie schreibt man dieses dort notierte p für die Stellen?) 1. Fragen zu den Stellen In dem dort definierten $\begin{eqnarray} \mathbb P_{F/K} \end{eqnarray}$ sind nur die Äquivalenzklassen der auf K trivialen Bewertungen (also die Abbildungen aus Definition 2.4.10 zusammen mit v(K)={0}) enthalten? Was bezeichnet eine Wertegruppe? (Bemerkung 2.4.14) In den Sätzen 2.4.15 und .17 wird offenbar ein Zusammenhang zwischen den Stellen eines Funktionenkörpers und denen einer Kurve hergestellt (Def 2.4.6 <-> Def 2.4.13) 2. Divisoren Nun zu den Divisoren aus Kapitel 2.5 (S. 21) Mich interessiert zunächst nur die Definition 2.5.1. Nochmal zur Wiederholung, da mir der Begriff nicht geläufig ist und ich diesen nur in einer Internetpublikation gefunden habe: Def. Exakter Konstantenkörper: Seien K ein Konstantenkörper (Def. 2.3.9) und $\begin{eqnarray} F/K \end{eqnarray}$ ein Funktionenkörper (Def 2.3.7 und 2.3.21). Dann heißt der algebraische Abschluss von K in F exakter Konstantenkörper. Diese Definition ist in der Arbeit nicht notiert, wird aber bei einer meiner Fragen eine Rolle spielen. Divisoren sind Stellen des Funktionenkörpers, also maximale Ideale. Korrekt? Falls ja: Warum wird ein Divisor dann über die Stellen einer Kurve definiert? und Warum wird dann eine Addition, wie z.B. [2]D=D+D "sinnvoll" definiert. Ist D ein maximales Ideal, so ist D+D=D. Also darf D kein maximales Ideal sein. Gibt es leicht nachvollziehbare Beispiele für Divisoren? Falls ja: könnte mir jemand eins bereit stellen oder auf eines linken? Nachdem die kursive Schrift beendet ist, wird notiert "[...]Haben wir die Kurve C über dem algebraischen Abschluss $\begin{eqnarray} \overline{K} \end{eqnarray}$ definiert, [...]" Da K exakt, ist $\begin{eqnarray} K=\overline{K} \end{eqnarray}$ ? Wie kommt man plötzlich von einer Summe über die Stellen des Funktionenkörpers auf eine Summe über die Punkte der Kurve? D.h. welcher Zusammenhang besteht zwischen den Stellen des Körpers und den Punkten der Kurve? Liegt das daran, dass jeder Punkt ein eindeutig bestimmtes maximales Ideal besitzt? (Nachtrag nach der Def. 2.4.6) [1] http://page.math.tu-berlin.de/~kant/publ.../schweitzer.pdf -------------------------------------------- Kurzes Fazit des Kapitels 2 der Diplomarbeit: Es strotzt vor vielen vielen Schreibfehlern. Notationen werden nicht Konsequent eingehalten. Die fachliche Präzision ist bestenfalls ausreichend. Es wird sich an keine ISO Norm in der Formatierung gehalten und einige Literaturverweise führen ins Leere oder lassen sich nur schwer nachvollziehen. (Verweise auf den Silverman - The Arithmetic of Elliptic Curves sind nicht präzise genug angegeben, jedes Kapitel hat eine neue Aufzählung der Objekte, startend bei 1.1. Verweise auf den Hartshorne - Algebraic Geometry verlaufen durchweg ins Leere.) Am liebsten würde ich diese Arbeit wieder weglegen, aber es gibt kaum eine solch umfangreiche Zusammenfassung.
04.02.2017, 17:31	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Möglicherweise kann ich selber ein paar Fragen mittlerweile beantworten. Zu 1.) $\begin{eqnarray} \mathbb P_{F/K} \end{eqnarray}$ ist die Menge der Äquivalenzklassen von auf K trivialen Bewertungen. Die Wertegruppe ist (naheliegenderweise) das Bild der Bewertungen. Diese wird durch [1] zu einer Gruppe. Zu 2.) I.A. wird ein Divisor nicht über exakte Funktionenkörper definiert. Divisoren sind egtl. keine maximalen Ideale. Divisoren sind Summen über Bewertungen aus $\begin{eqnarray} \mathbb P_{F/K} \end{eqnarray}$ und damit selber wieder eine Bewertung. Eine Skalarmultiplikation mit $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ lässt sich trivialerweise durch $\begin{eqnarray} n_i\cdot v_P=\begin{cases} 0 & n_i=0\\ v_P+...+v_P & n_i > 0\\ -v_P - ... - v_P& n_i<0 \end{cases} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n_i- \end{eqnarray}$ fachen Summen definieren. Da die Bewertungen eine Gruppe bilden, bildet die Menge der Äquivalenzklassen von Bewertungen natürlich auch eine Gruppe. Also ist ein Divisor $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ selbst eine Äquivalenzklasse von Bewertungen. Die Summer zweier Äquivalenzklassen von Bewertungen ist i.A. eine andere Äqu'kl. und damit ist $\begin{eqnarray} D+D=[2]D \end{eqnarray}$ in jedem Fall sinnvoll und wegen der Gruppeneigenschaft auch Wohldefiniert. Geläufiger ist vermutlich die Definition [2] eines Divisors, bei der die Gruppenstruktur aus der elliptischen Kurve impliziert wird. Es bleibt nun noch eine Frage offen: Gibt es "einfache" (d.h. leicht nachzuvollziehende und kurz zu überprüfende/nachzurechnende) Beispiele zu Divisoren? Was sind z.B. die Divisoren der Kurve $\begin{eqnarray} C(\mathbb F_{2^{6}}):\ x^3+2x+1-y^2=0 \end{eqnarray}$ (Falls diese schwer nachzuvollziehen ist, gerne eine andere)..Beispiele unter [3] gefunden. Dadurch sehe ich, dass diese Form nicht schön gewählt ist. Besser wäre ein Beispiel, wie $\begin{eqnarray} y^2=(x-1)(x-2)(x+2) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y^2=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray}$ gewesen. [1] https://de.wikipedia.org/wiki/Bewertungstheorie#Definition_2 [2] https://de.wikipedia.org/wiki/Divisor#Algebraische_Kurven [3] http://math.stackexchange.com/questions/...-elliptic-curve

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