Extremwertaufgabe Radfahrer Kreuzung

03.02.2017, 19:54	Osterglocke7	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Radfahrer Kreuzung Meine Frage: Hallo, habe hier eine Matheaufgabe, bei der ich nicht so recht weiterkomme...: Zwei Radfahrer R1 und R2 bewegen sich auf eine Straßenkreuzung zu. Zum Zeitpunkt t=0 (t in min) ist R1 noch 700 m von der Kreuzung entfernt, R2 noch 600 m. Beide Radfahrer fahren mit konstanter Geschwindigkeit: R1 legt in einer Minute 300 m zurück, R2 fährt 400 m in der Minute. (R1 und R2 sind jeweils auf einer anderen Spur, die zur Kreuzung hinführt, R1 auf der rechten Spur, R2 auf der unteren) Untersuche, zu welchem Zeitpunkt t0 die beiden Radfahrer den kleinsten Abstand voneinander haben. Wie groß ist dieser Minimalabstand und wo befinden sich R1 und R2 zum Zeitpunkt t0? Meine Ideen: Habe mir bereits eine Skizze gemacht, d.h ein Dreieck mit den Katheten 700 und 600 m. Ich möchte mal stark vermuten, dass ich den Satz des Pythagoras brauche, ich brauche ja c (die Hypotenuse des Dreiecks). Daraus müsste ich eine Funktion aufstellen und das Minimum berechnen. Aber wie genau bringe ich die Geschwindigkeiten da mit rein?
03.02.2017, 21:13	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Radfahrer Kreuzung Ich würde den Lösungsweg zunächst formal vektoriell aufziehen. Sei der Schnittpunkt der beiden Fahrtrouten der Koordinatenursprung. Dann lauten die Koordinaten der beiden Radfahrer zur Zeit t=0 $\begin{align} R_{1}(0)=\begin{pmatrix} -700 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$ $\begin{align} R_{2}(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ -600 \end{pmatrix} \end{align}$ In Abhängigkeit des weiteren Zeitablaufs lauten die Koordinaten dann $\begin{align} R_{1}(t)=\begin{pmatrix} -700+300t \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$ $\begin{align} R_{2}(t)=\begin{pmatrix} 0 \\ -600+400t \end{pmatrix} \end{align}$ Einheiten seien hierbei vernachlässigt, wenn wir beachten, dass die Zeit t in Minuten gezählt wird, aber als reiner Zahlenwert eingesetzt wird. Der Abstand (in Metern) der beiden Radfahrer in Abhängigkeit von t ist der Betrag des Differenzvektors. Die Ermittlung des Minimums führt dann letztlich auf die Bestimmung des Scheitelpunkts einer Parabel. Wenn Du keine Vektoren verwenden willst, führt Pythagoras direkt aber auch zum selben Ergebnis bei Verwendung obiger t-Terme als Kathetenlängen.
03.02.2017, 22:08	Rabbi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Radfahrer Kreuzung Hey, es geht auch eine graphische Lösung:

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