Parabel die durch 3 Punkte geht

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dejan Auf diesen Beitrag antworten »
Parabel die durch 3 Punkte geht
Meine Frage:
Hallo an alle,
wir haben ein Aufgabenblatt zur Prüfungsvorbereitung bekommen und ich zerbreche mir den Kopf an einer Aufgabe. Sie lautet wie folgt:

Die Parabel f geht durch die Punkte A(-2|-3), B(2|5) und C(1|1,5).
Bestimmen Sie den Funktionsterm de Parabel in der allgemeinen Form.



Meine Ideen:
Da die Normalform y=ax²+bx+c lautet, das c aber nicht gegeben ist habe ich es auch in der Rechnung weggelassen.

I -3=a*(-2)²+b*(-2)
II 5=a*2²+b*2
III 1,5=a*1²+b*1
------------------------------

I -3=4a-2b
II 5=4a+2b
III 1,5=a+b
------------------------------

Addiere I und II
2=8a

Addiere I und III
-1,5=5a-b
--------------------------------

I 2=8a
II -1,5=5a-b


So und jetzt hänge ich fest, hat jemand eine Idee wie es weitergeht und ob der Weg überhaupt richtig ist?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Fehler liegt direkt beim Weglassen des c's. Du hast doch auch a und b nicht gegeben und trotzdem mitgenommen. So musst du auch c mitnehmen Augenzwinkern . Probier das also nochmal.
 
 
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Equester, ich habe es nochmal probiert, stimmt das Ergebnis?

I -3=a*(-2)²+b*(-2)+c
II 5=a*2²+b*2+c
III 1,5=a*1²+b*1+c
------------------------------

I -3=4a-2b+c
II 5=4a+2b+c
III 1,5=a+b+c
------------------------------

Addiere I und II
2=8a+2c

Addiere I und III
-1,5=5a-b+2c
--------------------------------

I 2=8a+2c
II -1,5=5a-b+2c |*(-1)
----------------------------------

I 2=8a+2c
II 1,5=-5a+b-2c
---------------------------

3,5=3a+b ??? Wie geht es dann weiter???
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist soweit zwar richtig, aber du hast es etwas kompliziert gemacht Augenzwinkern .

Addiere I und II war richtg und sinnvoll, damit hast du eine Variable eliminiert.
Die Addition von I und III bringt so aber nix. Solltest schon eine Variable eliminieren. Eine die du bereits eliminiert hast.
I + 2*III wäre ein Vorschlag.
Probiers mal damit.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo, jetzt.
Ich muss mir jedem Additionsschritt eine Variable elemenieren und später jede einzelne ausrechnen.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß jetzt nicht genau, ob du das richtige meinst. Bist du meinem Rat gefolgt? Gesehen was passiert? Zur Lösung gekommen?
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, ich bin nochmal so vor gegangen aber wieder mit dem blöden -b was übrig ist hängen geblieben unglücklich
Hast du zufällig einen Lösungsweg für mich?


Gruß Jan
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es noch einmal mit einer anderen Variante probiert, kann das Ergebnis stimmen? Wir haben keine Lösung zu den Aufaben bekommen


Siehe Anhang
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst nur die drei x-Werte der Punkte einzusetzen und schauen, ob die y-Werte rauskommen. Das ist hier nicht der Fall, also stimmt was nicht.

Equester hat ja schon geschrieben, wie's geht: nimm

I -3=4a-2b+c
II 5=4a+2b+c
III 1,5=a+b+c

und rechne einmal I+II und dann noch I+2*III. Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte.

Viele Grüße
Steffen
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Also faktisch ist mein Ergebnis falsch.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dejan
Also faktisch ist mein Ergebnis falsch.

Falls Du noch eine weitere Bestätigung brauchst: Ja, ist es. Das c kann nicht einfach weggelassen werden (siehe Equester und Steffen)
outSchool Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

solange Equester offline ist, springe ich mal ein.

Du kannst das c nicht einfach unterschlagen. Deine Lösung stimmt nicht.
Probiere es mal so:

4-mal Zeile III minus Zeile I = Zeile I und
4-mal Zeile III minus Zeile II = Zeile II.

Kennst du das Gauß-Verfahren?

@Helferlein: Ich ziehe mich zurück. Viele Köche verderben den Brei.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine Lösung. Wie muss ich dann weiter machen?

Gruß
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von outSchool
Hallo,

solange Equester offline ist, springe ich mal ein.

Du kannst das c nicht einfach unterschlagen. Deine Lösung stimmt nicht.
Probiere es mal so:

4-mal Zeile III minus Zeile I = Zeile I und
4-mal Zeile III minus Zeile II = Zeile II.

Kennst du das Gauß-Verfahren?

@Helferlein: Ich ziehe mich zurück. Viele Köche verderben den Brei.



Mit dem Gauß Verfahren kenn ich mich leider nicht aus unglücklich Das haben wir auch nie behandelt.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast ja nicht richtig gelesen, was ich geschrieben habe.

code:
1:
2:
3:
I.  -3   = 4a - 2b + c
II.  5   = 4a + 2b + c
III. 1,5 =  a +  b + c


Dann ist doch die Addition I+II:

code:
1:
2:
3:
4:
I.  -3   = 4a - 2b + c
II.  5   = 4a + 2b + c
_______________________
     2   = 8a      + 2c


Und die Addition I+2*III:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
    I. -3  = 4a - 2b + c
2*III.  3  = 2a + 2b + 2c
__________________________
        0  = 6a      + 3c
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben von unserem Mathelehrer mal eine Musteraufgabe bekommen, aber das passt irgendwie mit der hier aktuellen überhaupt nicht zusammen.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Vielleicht hast ja nicht richtig gelesen, was ich geschrieben habe.

code:
1:
2:
3:
I.  -3   = 4a - 2b + c
II.  5   = 4a + 2b + c
III. 1,5 =  a +  b + c


Dann ist doch die Addition I+II:

code:
1:
2:
3:
4:
I.  -3   = 4a - 2b + c
II.  5   = 4a + 2b + c
_______________________
     2   = 8a      + 2c


Und die Addition I+2*III:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
    I. -3  = 4a - 2b + c
2*III.  3  = 2a + 2b + 2c
__________________________
        0  = 6a      + 3c


Ah ok jetzt hats klick gemacht. Mein Ergebnis lautet a=1.
Wie muss ich dann mit der errechneten 1 weiter machen?
Muss ich die in jede der 3 Terme einsetzten und von neuem beginnen auch für c?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dejan
Mein Ergebnis lautet a=1.


Prima!

Zitat:
Original von dejan
Muss ich die in jede der 3 Terme einsetzten und von neuem beginnen auch für c?


Nein, das ist ja das Schöne. Nun geht automatisch alles andere auf, wie beim Sudoku.

Du kannst Dir also eine der beiden Gleichungen 2=8a+2c und 0=6a+3c aussuchen, sie sind ja beide korrekt und führen daher beide zum Ziel.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Ja cool smile
Wie sieht dann das Ergebnis aus???

Freude
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, etwas zu früh gefreut. Es ist leider nicht a=1, da hab ich mich verlesen.

Aber das Gleichungssystem ist schnell erledigt, oder? Einfach 0=6a+3c nach c umstellen und in 2=8a+2c einsetzen.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich die 1 in:

2=8a+2c einsetzte erhalte ich c=-3

0=6a+3c eingesetzt c=-1,5
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie gesagt: rechne a noch mal richtig aus.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

ok
0=6*1+3c
0=6+3c
-2=c

in die andere Formel eingesetzt

2=8a+2*2
2=8a-4
-2=8a |8
-0,125=a
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dejan
0=6*1+3c


Nein, hier hast Du ja schon das falsche a=1 eingesetzt. Das kann also nichts werden.

Aber weil ich Dich durcheinandergebracht habe, hier der erste Schritt als Bonus:



Du bist wieder dran.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber jetzt blick ich garnichts mehr. Am Samstag muss ich die Prüfung schreiben und habe mich jetzt 2 Tage allein mit dem Kram befasst. So komme ich leider nicht weiter.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zu diesem Punkt:

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Dann ist doch die Addition I+II:

code:
1:
2:
3:
4:
I.  -3   = 4a - 2b + c
II.  5   = 4a + 2b + c
_______________________
     2   = 8a      + 2c


Und die Addition I+2*III:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
    I. -3  = 4a - 2b + c
2*III.  3  = 2a + 2b + 2c
__________________________
        0  = 6a      + 3c

sollte es aber noch verstanden sein?
Du hast jetzt also noch ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen zu lösen:
2 = 8a + 2c
0 = 6a + 3c

Jetzt multiplizierst du die 1. Gleichung mit 3 und die 2. Gleichung mit -2 und addierst das ganze:
6 = 24a + 6c
0 = -12a - 6c

Das addiert ergibt: 6 = 12a

Jetzt kannst du das a bestimmen.

Anmerkung: warum man am Anfang nicht gleich Gleichung I - II gerechnet hat, weiß ich nicht, aber das wäre der schnellste Weg gewesen. Augenzwinkern
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Meine letzte Lösung wäre: y=1,5x²+2x-5
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, warum du nicht meine Rechnung aufgreifst. Jedenfalls ist deine Lösung falsch, wie man leicht sieht:



Die Parabel geht nicht durch den Punkt C.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man.
Was ist denn jetzt eigentlich der richtige Rechenweg, alles unterscheidet sich, Internetlösungen, die Lösung hier, die von dem Lehrer???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Hier habe ich den Anfang gepostet:
Zitat:
Original von klarsoweit
Das addiert ergibt: 6 = 12a

Jetzt kannst du das a bestimmen.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habs nochmal gemacht. Jetzt komme ich auf folgendes Ergebnis:

y=0,5x²-4x-1


Scheitel (4/-9)

Nullstellen: 4,121 / -0,121




EDIT: Plot-Angabe verbessert (klarsoweit)
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber so kommen wir nicht weiter. Du lieferst eine falsche Lösung nach der anderen ab, aber wenn Du uns nicht erzählst, wie Du drauf kommst, können wir Dir nicht helfen.

Und wie gesagt, Deine Lösung kannst Du selber testen, indem Du schaust, ob

f(-2)=-3, f(2)=5 und f(1)=1,5

ist. Bei der letzten Lösung ist nichts davon zutreffend.

Aber zumindest hast Du das a nun korrekt berechnet. Wie hast Du weiter gearbeitet? Schreib es auf, dann bekommen wir es zusammen hin.
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

a= 0,5

a in I eingesetzt

2=8a+2c
2=4+2c
-2=2c
-1=c

a und c in I eingesetzt

-3=4a-2b+c
-3=4*0,5-2b-1
-3=2-2b-1
-4=b

Ergebnis: y=0,5x²-4x-1
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dejan
-3=2-2b-1
-4=b

Wie kommst du von der oberen zur unteren Gleichung ? verwirrt
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von klarsoweit
[quote]Original von dejan
-3=2-2b-1
-4=b


-3=2-2b-1
-3=1-2b |-1
-4=-2b |:-2
2=b

Oh ich habs gemerkt,verrechnet

y=0,5x²+2x-1
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Siehst Du, geht doch.



Viele Grüße
Steffen
dejan Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Gott Gott Gott Gott Gott Gott Gott Gott Gott Gott Gott Gott Gott
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