Logarithmus Gesetze Beweis

04.02.2017, 13:16

steviehawk

Logarithmus Gesetze Beweis

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe gerade versucht die Logarithmus Gesetze zu beweisen. Passt das so?

Definition:
1) Sind $\begin{eqnarray*} a,b > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist x=log_a(b) die reelle Zahl für die $\begin{eqnarray*} a^x = b \end{eqnarray*}$ ist.
2) Also: $\begin{eqnarray*} log_a(a^x) = log_a(b) = x \end{eqnarray*}$

Also mal das erste:
$\begin{eqnarray*} log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v) \end{eqnarray*}$

Also zunächst existieren $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ so dass gilt: $\begin{eqnarray*} u=a^m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = a^n \end{eqnarray*}$ (Für die Existenz kann man über die e-Fnkt. argumentieren und den Satz verwenden, dass bei surjektiven, streng monotonen, stetigen Funktionen auch die Umkehrabbildung stetig ist. Mit einem Basiswechsel kann man immer zur Basis e wechseln. So ist die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} a^x = b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b > 0 \end{eqnarray*}$ gesichert.)

Es folgt nun:

$\begin{eqnarray*} \log_a(u \cdot v) = \log_a(a^m \cdot a^n) = \log_a(a^{m+n}) = m+n \end{eqnarray*}$ wegen Definition (2)(linke Seite)

$\begin{eqnarray*} \log_a(u) = log_a(a^m) = m \end{eqnarray*}$ wegen Definition (2) (rechte Seite Teil1)

$\begin{eqnarray*} \log_a(v) = \log_a(a^n) = n \end{eqnarray*}$ wegen Definition (2) (rechte Seite Teil2)

Insgesamt also m+n = m+n

Das ist eine wahr Aussage also ist auch das Gesetzt war!

Meine Ideen:
Soweit so gut, nur erinnere mich an das Problem, dass ich aus einer falschen Aussage immer etwas richtiges folgern kann. Deshalb frage ich mich nun, ob die Strategie meines Beweises überhaupt Sinn ergibt verwirrt

Danke für die Ratschläge smile

EDIT: Notfalls kann ich den Beweis ja auch rückwärts aufschreiben und aus m+n = m+n das entsprechende Gesetzt herleiten. Aber macht ja auch kein Unterschied, da alles Äquivalenzumformungen sind)

04.02.2017, 17:38

Bürgi

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RE: Logarithmus Gesetze Beweis
Guten Tag,

nur ein Hinweis: Dir ist hier

Zitat:

Sind $\begin{eqnarray*} a,b > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist x=log_a(b) die reelle Zahl für die $\begin{eqnarray*} a^x = b \end{eqnarray*}$ ist.

ein Tippfehler unterlaufen. Richtig müsste es heißen:

Zitat:

Sind $\begin{eqnarray*} a,b > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq {\color{red}1} \end{eqnarray*}$ dann ist ...

04.02.2017, 20:44

steviehawk

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RE: Logarithmus Gesetze Beweis
Danke für den Hinweis Freude

05.02.2017, 15:09

steviehawk

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RE: Logarithmus Gesetze Beweis
Keine Ahnung ob sich das jetzt noch jemand anschaut, aber mir ist aufgefallen, dass der Beweis im Grunde ein Einzeiler sein kann. Zumindest dann, wenn man die Existenz des Logarithmus schon hat.

Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass gilt: $\begin{eqnarray*} a^m = u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^n = v \end{eqnarray*}$ . Es folgt dann sofort:

$\begin{eqnarray*} \log_a(u \cdot v) = \log_(a^m \cdot a^n) = \log_(a^{m+n}) \stackrel{(2) siehe Beitrag 1}{=} \log_a(a^m) + \log_a(a^n) = \log_a(u) + \log_a(v) \end{eqnarray*}$

kurz also: $\begin{eqnarray*} \log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v) \end{eqnarray*}$

Das eigentlich spannende ist also die Existenz von $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Hierfür kann ich zum Beispiel zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} f(x) = a^x \end{eqnarray*}$ surjektiv ist. Hierfür kann ich Stetigkeit und strenge Monotonie von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ verwenden. Die beiden Eigenschaften müsste man natürlich auch nochmal zeigen.

Oder man verfolgt die Idee aus dem ersten Beitrag.

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