Reihendarstellung des Kotangens

04.02.2017, 13:54	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihendarstellung des Kotangens Hi, Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} \cot x = \frac{1}{x} + ax +o(x) , x \to 0 \end{eqnarray}$ für geeignetes $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Nachdem eine Taylorentwicklung um den Punkt $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nicht in Frage kommt (da $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} \end{eqnarray}$ ) habe ich versucht, direkt die Reihendarstellung des Sinus und Kosinus einzusetzen und erhalte: $\begin{eqnarray} \frac{x- \frac{1}{6} x^3 + o(x^3)}{1- \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)} \overset{!}{=} \frac{1}{x} + ax +o(x) \end{eqnarray}$ . Dann habe ich versucht, beide Seiten mit dem Nenner zu multiplizieren, aber das liefert leider auch kein brauchbares Ergebnis. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, Danke im Voraus.
04.02.2017, 14:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \frac{x- \frac{1}{6} x^3 + o(x^3)}{1- \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)} \end{align}$ wäre die Entsprechung von $\begin{align} \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{align}$ - dir geht es aber um $\begin{align} \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)} \end{align}$ ! Also bitte Zähler und Nenner tauschen...
04.02.2017, 14:39	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohje! Ich hatte das auf dem Papier anfangs noch richtig stehen, und dann die Reihendarstellungen falsch eingesetzt ._. Ich danke dir! Jetzt erhalte ich $\begin{eqnarray} a = -\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ , das sollte also passen!
04.02.2017, 16:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig.

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