Hauptvektoren berechnen

04.02.2017, 16:33	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptvektoren berechnen Hallo, Ich bin etwas verwirrt beim berechnen von Hauptvektoren. (Ich hoffe das ist der korrekte deutsche Begriff - generalized eigenvectors) für den Fall, dass wir mehrere Eigenvektoren pro Eigenwert haben. Beispiel: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}0&1&-1&-1\\0&0&0&0\\0&-1&2&2\\0&1&-2&-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der einzige Eigenwert ist: $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ mit algebraischer Vielfachheit $\begin{eqnarray} m=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Eig_\lambda(A)=span\bigg\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\\-1\end{pmatrix}\bigg\}=span\{v_1,v_2\} \end{eqnarray}$ somit ist die geo. vielfachheit: $\begin{eqnarray} g=2 \end{eqnarray}$ Nach meinem Wissen, kann ich jetzt sagen, dass wir $\begin{eqnarray} 4-2=2 \end{eqnarray}$ Hauptvektoren haben. Normalerweise berechne ich die Hauptvektoren wie folgt: (Wobei $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ seit ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} (A-pI)x_1=0 \end{eqnarray}$ [Gibt uns den normalen Eigenvektor] $\begin{eqnarray} (A-pI)x_2=x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A-pI)x_3=x_2 \end{eqnarray}$ somit sind die Hauptvektoren: $\begin{eqnarray} x_2,x_3 \end{eqnarray}$ zurück zum Beispiel: Wenn ich folgendes mache: (Beachte $\begin{eqnarray} (A-\lambda I)=A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Aw_1=v_1 \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} w_1\in \{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix} \| s,t\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Aw_2=v_2 \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} w_2\in \{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}+o\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix} \| u,o\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} t=s=o=u=1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} w_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2 = \begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir bekommen die Matrix $\begin{eqnarray} M=(v_1,w_1,v_2,w_2) \end{eqnarray}$ Aber ich hab keine Ahnung ob das korrekt ist. Wie würdet ihr hier die Hauptvektoren berechnen?

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