Partialbruchzerlegung

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Starflag Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung
Hallo,

und zwar sind wir bei der Integration von rationalen Funktionen angelangt und da brauchen wir die Partialbruchzerlegung...

Unten im Bild ist ein Beispiel. Ich verstehe nun den Koeffizientenvergleich nicht ganz (warum ist z.B. A+c=0?). Könnte mir das bitte einer schrittweise erklären. Danke vielmals smile




[attach]43831[/attach]
xref Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizientenvergleich
Zitat:
verstehe nun den Koeffizientenvergleich nicht ganz (warum ist z.B. A+c=0?).

Hallo,

ein Koeffizientenvergleich bedeutet bei der Partialbruchzerlegung ganz einfach, die Koeffizienten aller vorkommenden Potenzen von x zu vergleichen. Das sind hier x², x¹ und 1 (= x hoch Null).

Das links stehende x kann ausführlicher ausgedrückt werden als .
Und für jede Potenz von x einzeln verglichen mit den Koeffizienten von entsprechenden Potenzen x auf der rechten Seite folgt dann


und nach Division durch die jeweiligen Potenzen von x folgen dann die drei Gleichungen, die auf dem attachierten jpeg in der letzten Zeile stehen.
Starflag Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koeffizientenvergleich
Okay, das habe ich nun verstanden.

Wo ich trotzdem noch nicht so ganz durchblicke ist, wie man auf den Ansatz kommt.

Zum Beispiel diese Funktion:



Der Zählergrad ist 3 und der Nennergrad 5, deswegen müssen wir hier keine Polynomdivion machen.

Die NS des Nenners sind x1=1 und x2=-1.

Mein Ansatz wäre demnach:



Laut Lösung soll der Ansatz so sein:



Hä, wieso denn das?
xref Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koeffizientenvergleich
Zitat:
Laut Lösung soll der Ansatz so sein:



Hä, wieso denn das?
Terme der Form Bx+C im Zähler gehören zum Ansatz bei nichtreellen Lösungen, denn
Zitat:
Die NS des Nenners sind x1=1 und x2=-1.
ist teilweise falsch. Reelle Nullstelle von
Zitat:
ist nur x=1, und man braucht noch einen Ansatz für die nichtreellen Nullstellen von x²+1.
Starflag Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koeffizientenvergleich
Ich möchte also den letzten Term durch ein Integral berechnen



Partialbruchzerlegung sieht eben genau so aus:



Nenner rübermultiplizieren





Dann muss A=0, B=0, A+C=0 --> C=0, B+D=1 --> D=1

Inwiefern hilft mir das nun weiter das Intergral zu bestimmen, die Partialbruchzerlegung ist ja eben genau die Funktion verwirrt

Oder muss ich hier substituieren?
xref Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung
Zitat:
Inwiefern hilft mir das nun weiter das Intergral zu bestimmen, die Partialbruchzerlegung ist ja eben genau die Funktion


Richtig, denn mit der Partialbruchzerlegung ist man an der Stelle schon fertig: Diesen Integranden kann man nicht weiter in Partialbrüche zerlegen. Die Kochrezeptmathematik empfiehlt in diesem Fall, einfach von der Identität



Gebrauch zu machen. [Bronstein: Integrale der Form

werden durch eine Rekursionsformel auf Integrale der Form zurückgeführt.]
 
 
xref Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur der hierauf angewandten Rekursion
Mein letzter Summand ist falsch: In dem reduzierten Nenner fehlt noch eine 2. Ich schreibe die beim Hilfsschritt benutzte Identität einfach mit dem Doppelten des gesuchten Integrals auf:
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