Methoden um Grösse von Jordan-Blöcken zu bestimmen

05.02.2017, 14:03	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Methoden um Grösse von Jordan-Blöcken zu bestimmen Hallo, Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Matrix mit den Eigenwerten $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ wobei jeder Eigenwert die Geo. Vielf. $\begin{eqnarray} g_i \end{eqnarray}$ und die Alg. Vielf. $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ hat. Nehmen wir nun für ein spezifisches $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ z.B. folgendes an: $\begin{eqnarray} g_i=n\cdot a_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ Z.B.: $\begin{eqnarray} g_1=2, a_1=4 \end{eqnarray}$ Notation: $\begin{eqnarray} J_{\text{grösse},\lambda_i} \end{eqnarray}$ Für dieses Beispiel brauchen wir also $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ Blöcke - da die Geo. vielf. ja $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ist. Die Möglichkeite sind nun: 1. $\begin{eqnarray} J_{2,\lambda_i}\boxplus J_{2,\lambda_i} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} J_{1,\lambda_i}\boxplus J_{2,\lambda_i} \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} J_{2,\lambda_i}\boxplus J_{1,\lambda_i} \end{eqnarray}$ Klar ist, dass 2) und 3) äquivalent sind. Es gilt also zu entscheiden, ob 1) oder 2)/3) gilt. [Es kann nur immer 1) oder 2)/3) gelten, oder?] Um zu entscheiden, ob wir 1) oder 2)/3) nutzen, können wir folgendes machen: Wir betrachten $\begin{eqnarray} ran(A-\lambda_i Id)^2 \end{eqnarray}$ . Falls er 0 ist, gilt 1), falls er 1 ist, gilt 2)/3). Wenn mich nicht alles täuscht, beschreibt $\begin{eqnarray} ran(A-\lambda_i Id)^2 \end{eqnarray}$ die Dimension des verallg. Eigenraumes zu einem bestimmten Eigenvektor, nicht? [Was ist der Unterschied zum Hauptraum?] Meine eigentliche Frage ist nun, ob man auch andersweitig bestimmen kann ob man 1) oder 2)/3) nutzt.

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