Erwartungswert inverse Gammaverteilung

05.02.2017, 15:32	Numb3rs	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert inverse Gammaverteilung Meine Frage: Wenn $\begin{eqnarray} Z_j \sim \Gamma \left( n, \vartheta \right) \end{eqnarray}$ , was ist dann $\begin{eqnarray} E\left[\frac{1}{Z_j} \right] \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Laut meiner Musterlösung ist das Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{\Gamma \left( n-1 \right)}{\vartheta^{-1} \Gamma \left( n \right)} \end{eqnarray}$ aber ich verstehe überhaupt nicht, wo das Ergebnis herkommt und es wurden auch keine Zwischenschritte angegeben.
05.02.2017, 16:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na rechne es aus: Die Dichte $\begin{align} f_{n,\vartheta} \end{align}$ der Verteilung $\begin{align} \Gamma\left(n,\vartheta\right) \end{align}$ kannst du nachschlagen, und darauf basierend lautet der Ansatz dann $\begin{align} E\left[\frac{1}{Z_j}\right] = \int\limits_0^{\infty} \frac{1}{z}\cdot f_{n,\vartheta}(z) ~ \dd z \end{align}$ .

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