e Funktion ablesen

06.02.2017, 02:25

Babyme

e Funktion ablesen

Meine Frage:
Hallo ich verstehe nicht wie die bei der efunktion diesen wert 0.5 im Exponenten her zaubern ?

Kann mir das jemand erklären?

Meine Ideen:
gepostet

06.02.2017, 08:13

klarsoweit

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RE: e Funktion ablesen
Hast du auch den Hinweis beachtet: "Nutzen Sie auch die gestrichelt eingezeichnete Tangente." ?

Damit ist dann die Steigung der e-Funktion an der Stelle t=6 vorgegeben.

06.02.2017, 09:54

Babyme

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Damit ist dann die Steigung der e-Funktion an der Stelle t=6 vorgegeben.

Was meisnt du damit genau ?

t-6 steht in der Funktion weil das Signal um t- verschoben ist oder ?

Wie lese ich dieses 0,5 ab ?

So trivial ist es leider für mich nicht Big Laugh

06.02.2017, 10:13

HAL 9000

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Es ist auch nicht so trivial, dass man es ganz ohne Nachdenken rauskriegt... Wenn man davon ausgeht, dass $\begin{align*} f(t) \end{align*}$ für $\begin{align*} t\geq 6 \end{align*}$ eine fallende Exponentialfunktion mit den Rahmendaten $\begin{align*} f(6)=a \end{align*}$ und $\begin{align*} \lim_{t\to\infty} f(t) = b \end{align*}$ ist, dann wird das zunächst mal durch den Ansatz

$\begin{align*} f(t) = b + (a-b)e^{-\lambda (t-6)} \end{align*}$

erfüllt. Hier bei uns ist $\begin{align*} a=4 \end{align*}$ und $\begin{align*} b=1 \end{align*}$ , also $\begin{align*} f(t) = 1 + 3e^{-\lambda (t-6)} \end{align*}$ . Bleibt noch Parameter $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ zu bestimmen:

Aus der gestrichelten Linie in der Skizze kann man die Tangentensteigung $\begin{align*} -\frac{3}{2} \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} t=6 \end{align*}$ ablesen (denn diese Linie verläuft sowohl durch (6,4) als auch (8,1)). Das nun muss aber $\begin{align*} f'(6) \end{align*}$ entsprechen! Mit $\begin{align*} f'(t) = -3\lambda e^{-\lambda (t-6)} \end{align*}$ bekommen wir aber von Ansatzseite aus $\begin{align*} f'(6) = -3\lambda \end{align*}$ . Wie groß ist nun also $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ ?

06.02.2017, 10:20

Babyme

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f`(6) = -3*6 = 18

Meinst du es so?

Aber wie liest du genau -3/2 ab?

06.02.2017, 10:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
denn diese Linie verläuft sowohl durch (6,4) als auch (8,1)

Ich hatte angenommen, dass du weißt, wie man die Steigung einer Geraden bestimmt, von der zwei Punkte bekannt sind: $\begin{align*} \frac{1-4}{8-6} = -\frac{3}{2} \end{align*}$

Zitat:

Original von Babyme
f`(6) = -3*6 = 18

Meinst du es so?

Ganz gewiss nicht. Ich hatte oben doch klar und deutlich dargelegt, dass $\begin{align*} f'(6) = -3\lambda = -\frac{3}{2} \end{align*}$ gilt, also nix im entferntesten was mit 18. unglücklich

06.02.2017, 10:31

Babyme

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Ah ja jetzt verstehe ich es Big Laugh

f`(6) = -3*6 = 18

Die Idee war so richtig ?

06.02.2017, 10:37

Babyme

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-3lambda = -3/2

lambda = 3/6 = 1/2

Aber das wären doch +1/2 und nicht -1/2?

Warum hat man eigentlich 3lambda = ..... gesetzt?

06.02.2017, 10:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Babyme
Aber das wären doch +1/2 und nicht -1/2?

Nachdenken und -lesen!!! Im Ansatz $\begin{align*} f(t) = b + (a-b)e^{{\color{red}-}\lambda (t-6)} \end{align*}$ steht das Minus bereits im Exponenten!

Zitat:

Original von Babyme
Warum hat man eigentlich 3lambda = ..... gesetzt?

Worauf bezieht sich jetzt diese Frage? Hast du nicht verstanden, wie man $\begin{align*} f(t) = b + (a-b)e^{{\color{red}-}\lambda (t-6)} \end{align*}$ differenziert, oder kannst du danach t=6 nicht in die Ableitung einsetzen?

06.02.2017, 10:43

Babyme

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Nein ich verstehe nicht warum man genau 3 lambda gleich die Steigung setzt?

Also warum 3 lambda ?

06.02.2017, 10:47

HAL 9000

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Also nochmal, ganz ganz ganz langsam:

Aus dem Ansatz $\begin{align*} f(t) = 1 + 3e^{-\lambda (t-6)} \end{align*}$ ergibt sich durch Differenzieren (Kettenregel) $\begin{align*} f'(t) = 3e^{-\lambda (t-6)}\cdot (-\lambda) = -3\lambda e^{-\lambda (t-6)} \end{align*}$ , und setzt man da $\begin{align*} t=6 \end{align*}$ ein, bekommt man $\begin{align*} f'(6) = -3\lambda\cdot e^{-\lambda (6-6)} = -3\lambda\cdot e^{0} = -3\lambda \end{align*}$ .

Andererseits ist $\begin{align*} f'(6) \end{align*}$ aber auch die Steigung der Tangente an die Kurve $\begin{align*} f(t) \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} t=6 \end{align*}$ , und die kann man aus der Skizze ablesen als $\begin{align*} \frac{1-4}{8-6} = -\frac{3}{2} \end{align*}$ . Die Gleichsetzung $\begin{align*} -3\lambda = -\frac{3}{2} \end{align*}$ ermöglicht dann die Bestimmung des Parameters $\begin{align*} \lambda = \frac{1}{2} \end{align*}$ .

06.02.2017, 11:01

Leopold

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siehe auch hier

06.02.2017, 11:08

HAL 9000

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Kaum eine Problemstellung, die nicht schon mal im Board da war. Mangels eines passenden intelligenten Suchtools müssen wir uns aber z.Z. noch auf das Gedächtnis der entsprechenden Helfer verlassen, um derartiges aufzuspüren - die gegenwärtige Boardsuche hilft höchstens bei sehr konkreten, nicht allzu häufig vorkommenden Stichworten. smile

06.02.2017, 11:09

Babyme

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Ah danke jetzt verstehe ich es .

Ich hatte noch eine kleine Verständnisfrage wie die zu der 2 Gerade kommen ?

2*(t-4)

Das mit den t-4 verstehe ich wegen der Verschiebung .

Wie komme ich auf 2?

Haben die den oberen Endwert = 4 -unteren Abstand 2 subtrahiert ?

Also 4-2 = 2?

06.02.2017, 11:14

HAL 9000

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Selbes Problem: Geradengleichung aufstellen aus zwei gegebenen (bzw. eben ablesbaren) Punkten (4,0) und (6,4), das ergibt u.a. Steigung $\begin{align*} \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{4-0}{6-4} = \frac{4}{2} = 2 \end{align*}$ .

Nur weil die Mittelstufe vorbei ist, muss man ja nicht gleich vergessen, wie das geht.

06.02.2017, 11:26

Babyme

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Konnte es wirklich vorher Big Laugh

Aber jetzt leider doch vergessen .

Hast du zufällig auch ne wie man bei der b) die Leistung berechnen kann ?

Es handelt sich ja um ein Leistungssignal da die Energie unendlich ist.

06.02.2017, 11:37

HAL 9000

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Ich gehe mal davon aus, dass du das hier abgedruckte b) meinst. Insbesondere aber deine Definition von (mittlerer) Leistung scheint mir auf das $\begin{align*} g(t) \end{align*}$ bezogen völlig ungeeignet:

Wieso sollte man die Vorvergangenheit $\begin{align*} t<0 \end{align*}$ mit einheitlich $\begin{align*} g(t)=0 \end{align*}$ die Leistung verwässern lassen? Wenn du eine Stunde lang mit dem Auto 100 PS Vollgas fährst, sagst du ja anschließend auch nicht, die mittlere Leistung sei 50PS gewesen, da ja das Auto vorher eine Stunde lang gestanden hat (0PS). Nein, wenn schon, dann macht für mich hier höchstens

$\begin{align*} P = \lim_{T_0\to\infty} \frac{1}{T_0} \int\limits_0^{T_0} g^2(t) ~ \dd t \end{align*}$

Sinn.

06.02.2017, 11:57

Babyme

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In der musterlösung soll nach meiner Musterlösung 1/2 raus kommen .

Aber versuchen wir mal auszurechnen :

$\begin{eqnarray*} \int_{T0}^{0} \! (1+3e{-0.5*(t-6)})^2 \, dt \end{eqnarray*}$

Von wo bis wo sollen die grenzen gehen?

06.02.2017, 12:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Babyme
In der musterlösung soll nach meiner Musterlösung 1/2 raus kommen .

Anscheinend ist dann also doch die Verwässerungsvariante gemeint. Finde ich irgendwie bekloppt, aber dann musst du es wohl so machen.

Zur Berechnung: Das Integral von $\begin{align*} -\frac{T_0}{2} \end{align*}$ bis 6 ist vollkommen uninteressant, wichtig ist nur, dass es existiert und endlich ist mit einem Wert $\begin{align*} C \end{align*}$ unabhängig von $\begin{align*} T_0 \end{align*}$ . Konzentriere dich daher auf die Berechnung von $\begin{align*} \int\limits_6^{\frac{T_0}{2}} g^2(t) ~ \dd t \end{align*}$ .

06.02.2017, 13:15

Babyme

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Habe ich den richtigen Term für gt gewählt ?

Warum von 6 bis T0/2 ?

Verstehe ich nicht Big Laugh

06.02.2017, 13:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Babyme
Warum von 6 bis T0/2 ?

Dann mach es halt anders - oder fang an, mal nachzudenken, statt dir jeden kleinen Sch... dreimal wiederholen oder motivieren zu lassen.

06.02.2017, 13:40

Babyme

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$\begin{eqnarray*} \int_{6}^{T0/2} \! (1+3e^{-0.5*(t-6)})^2 \, dt \end{eqnarray*}$

binom denke ich mal:

$\begin{eqnarray*} \int_{6}^{T0/2} \! (1+6e^{-0.5*(t-6)}+ 3e^{-1*(t-6)} ) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{6}^{T0/2} \! (1+6e^{-0.5t-3}+ 3e^{-t+6} ) \, dt \end{eqnarray*}$

Jetzt integrieren?

06.02.2017, 13:45

HAL 9000

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$\begin{align*} (1+3e^{-0.5*(t-6)})^2 = 1+6e^{-0.5(t-6)}+{\color{red}9}e^{-(t-6)} \end{align*}$

Ansonsten stimmt die Methode.

06.02.2017, 14:39

Babyme

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$\begin{eqnarray*} \int_{6}^{T0/2} \! (1+6e^{-0.5t-3}+ 9e^{-t+6} ) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [ t -12e^{-0.5t-3}-9e^{-t+6} ] \end{eqnarray*}$

Passt das Integral?

06.02.2017, 15:09

HAL 9000

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Nein, das ist erstmal nur die Stammfunktion, nicht das bestimmte Integral (Grenzen einsetzen!)

Überhaupt missfällt mir dieser Chat-Modus, den du mir aufzwingen willst: Diese zahlreichen Minipostings erhöhen nur die Beitragszahl, daran hab ich Null Interesse. Meld dich doch wieder, wenn du das Endresultat von https://www.matheboard.de/thread.php?pos...401#post2082401 hast, besser gleich das von

$\begin{align*} \frac{1}{T_0} \int\limits_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} g^2(t) ~ \dd t \end{align*}$ .

Du kannst gern alle Zwischenschritte posten, aber bitte nicht mit Bestätigungsaufforderung nach jeder winzigen Zeile.

06.02.2017, 15:19

Babyme

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$\begin{eqnarray*} \int_{6}^{T0/2} \! (1+6e^{-0.5t-3}+ 9e^{-t+6} ) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [ t -12e^{-0.5t-3}-9e^{-t+6} ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [ T0/2 -12e^{-0.5*T0/2-3}-9e^{-T0/2+6} ] -[ 6 -12e^{-9}-9e^{3} ] \end{eqnarray*}$

Jetzt mal 1/T0 für T0 gegen unendlich :

P = 1/2

Passt also mit der Musterlösung Big Laugh

Kannst du mir aber jetzt wenigstens erklären warum du die Grenzen 6 bis T0/2 gewählt hast?

Muss T0/2 immer bei den Grenzen dabei sein oder wie ?

06.02.2017, 15:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Babyme
Kannst du mir aber jetzt wenigstens erklären warum du die Grenzen 6 bis T0/2 gewählt hast?

Hab ich oben schon erklärt, aber du liest ja nicht:

Zitat:

Original von HAL 9000
Das Integral von $\begin{align*} -\frac{T_0}{2} \end{align*}$ bis 6 ist vollkommen uninteressant, wichtig ist nur, dass es existiert und endlich ist mit einem Wert $\begin{align*} C \end{align*}$ unabhängig von $\begin{align*} T_0 \end{align*}$ .

Diese Bemerkung zielt natürlich auf die Zerlegung

$\begin{align*} \int\limits_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} g^2(t) ~ \dd t = \int\limits_{-\frac{T_0}{2}}^6 g^2(t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_6^{\frac{T_0}{2}} g^2(t) ~ \dd t = \underbrace{\int\limits_0^6 g^2(t) ~ \dd t}_{=:C} ~+~ \int\limits_6^{\frac{T_0}{2}} g^2(t) ~ \dd t \end{align*}$

ab, letzteres weil für t<0 ja sowieso g(t)=0 gilt.

06.02.2017, 16:01

Babyme

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Danke

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