Volumen Körper

06.02.2017, 12:34

MathNoob28

Volumen Körper

Meine Aufgabe:
Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders, welches von den drei Koordinatenebenen
und der Ebene z=2-2x-y begrenzt wird.
Sowie das Volumen desjenigen Körpers, der vom geraden Kreiszylinder mit Radius R zentral aus der Kugel mit Radius 2R herausgeschnitten wird.

Ich muss es mit Integralen ausrechnen. Kann mir jmd da bitte einen Tipp geben. Ich komme nicht weiter.
Bei dem 2. ist es mir anschaulich klar. V= Kugel- Zylinder - 2 Kugelkappe. Aber wie finde ich dazu Parametrisierung ...
LOL Hammer

06.02.2017, 13:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MathNoob28
Sowie das Volumen desjenigen Körpers, der vom geraden Kreiszylinder mit Radius R zentral aus der Kugel mit Radius 2R herausgeschnitten wird.

Mach einen Schnittzeichnung durch die Figur, die Schnittebene sollte dabei die Zentrumachse des ausgestanzten Zylinders beinhalten. Mit ein wenig Pythagoras solltest du dann weiterkommen, was die Parameter von Zylinder und Kugelkappe betrifft.

Allerdings wolltest du ja anscheinend gar nicht die "fertigen" Volumenformeln nehmen (obwohl du es hier könntest), sondern mit den Integralen rechnen - richtig? Falls dem so ist, dann würde ich hier die Verwendung von Zylinderkoordinaten vorschlagen - Kugelkoordinaten geht wohl auch, scheint aber zu einer Spur komplizierteren Termen zu führen.

06.02.2017, 13:28

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen Körper
Das erste Volumen (Tetraeder) kann man als Doppelintegral der Funktion z(x,y) darstellen und dabei darauf achten, dass das Integrationsgebiet dem Grunddreieck des Tetraeders in der x-y-Ebene entspricht.

06.02.2017, 13:37

MathNoob28

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe es mir so vorgestellt. Ich hoffe das ist so richtig
Dann bekomme ich das h so:

r ist dann 2R und a= R

Dann folgt für h= 2R - sqrt( 4 R^2- R^2 ) = 2R- sqrt( 3 R^2)

Ist das so korrekt? LOL Hammer

06.02.2017, 13:38

MathNoob28

Auf diesen Beitrag antworten »

rumar . Wie mache ich das genau?

06.02.2017, 14:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MathNoob28
Dann folgt für h= 2R - sqrt( 4 R^2- R^2 ) = 2R- sqrt( 3 R^2)

Wobei man das noch weiter vereinfachen kann: $\begin{align*} h= (2-\sqrt{3})R \end{align*}$

06.02.2017, 14:17

MathNoob28

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke

Wie berechne ich jetzt mein Integral?

06.02.2017, 14:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vor dem Berechnen des Integrals steht wohl das Aufstellen des Integrals, dann mal ran! Von mir aus erstmal mit kartesischen Koordinaten $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ oder gleich (wie von mir oben empfohlen) mit Zylinderkoordinaten $\begin{align*} \rho,\varphi,z \end{align*}$ (ich hätte ja lieber $\begin{align*} r \end{align*}$ statt $\begin{align*} \rho \end{align*}$ genommen, aber du hast ja $\begin{align*} r \end{align*}$ oben schon verbraten, leider - ich richte mich aber drauf ein Augenzwinkern

06.02.2017, 15:11

MathNoob28

Auf diesen Beitrag antworten »

also dann habe ich sowas wie

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} d \phi \int_{0}^{?} r dr \int_{2 R- 2-\sqrt{{3} } R }^{2-\sqrt{{3} } R} dz \end{eqnarray*}$

Irgendwas ist da doch noch falsch. Sry HAL, du müsstest mir bitte nochmal helfen?

06.02.2017, 15:17

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Also jetzt doch $\begin{align*} r \end{align*}$ statt $\begin{align*} \rho \end{align*}$ , damit gibst du die obige Festlegung r=2R wohl auf...

Es geht um alle Punkte der Vollkugel $\begin{align*} r^2+z^2\leq (2R)^2 \end{align*}$ , die außerhalb des Zylinders liegen, d.h., $\begin{align*} r\geq R \end{align*}$ . Damit haben wir für feste $\begin{align*} r \end{align*}$ aus dem Bereich $\begin{align*} R\leq r\leq 2R \end{align*}$ die Bedingung $\begin{align*} z^2\leq 4R^2-r^2 \end{align*}$ an Koordinate $\begin{align*} z \end{align*}$ , und es ist

$\begin{align*} V = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_R^{2R} \int\limits_{-\sqrt{4R^2-r^2}}^{\sqrt{4R^2-r^2}} ~ \dd z ~ r\dd r ~ \dd\varphi \end{align*}$ .

Alternativ kannst du natürlich auch von $\begin{align*} z=-\sqrt{3}R \end{align*}$ bis $\begin{align*} \sqrt{3}R \end{align*}$ integrieren, und dafür dann via $\begin{align*} r^2\leq 4R^2-z^2 \end{align*}$ den Integrationsbereich für $\begin{align*} r \end{align*}$ anpassen:

$\begin{align*} V = \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_{-\sqrt{3}R}^{\sqrt{3}R} \int\limits_R^{\sqrt{4R^2-z^2}} ~ r\dd r ~ \dd z ~ \dd\varphi \end{align*}$ .

Ist rum wie num.

06.02.2017, 15:47

MathNoob28

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf die Bedinung: r^2 + z^2 ^=< (2R)^2 und dann R =<r =< 2R Hammer

06.02.2017, 15:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MathNoob28
Wie kommst du auf die Bedinung: r^2 + z^2 ^=< (2R)^2

Du weißt, was eine Kugel vom Radius 2R ist? Dieses "wie kommst du auf..." könnte kaum deplatzierter sein. Finger2

Zitat:

Original von MathNoob28
und dann R =<r =< 2R

Na größer als Abstand 2R von der Mittelachse macht ja wohl keinen Sinn, da sind wir außerhalb der Kugel. Und kleiner als R sind die Punkte des Zylinders, der ja weggeschnitten wird und damit nicht zum Volumen zählt. Denkst du überhaupt irgendwie mit, oder was soll diese dämliche Häufung von Hammersymbolen bedeuten? unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

Volumen Körper

Verwandte Themen