Lebesgue Integral : Kugelkoordinaten/Cavalieri

06.02.2017, 16:20	shkupi96	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue Integral : Kugelkoordinaten/Cavalieri Hallo zusammen, Gegeben folgendes Integral : $\begin{eqnarray} \int_{B} \! \sqrt{x^2+y^2+z^2} d\lambda^3(x,y,z)\ \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \| \sqrt{x^2+y^2+z^2}\leq 2 \right\} \end{eqnarray}$ . Wendet man Kugelkoordinaten an, so erhält man relativ einfach 16Pi als Lösung. Jetzt sollte man das ganze mit dem Prinzip von Cavalieri lösen. Mein Ansatz dazu : $\begin{eqnarray} \int_{[-2,2]} \! \int_{B_z} \! \sqrt{x^2+y^2+z^2}\, d\lambda^2(x,y) \, d\lambda(z) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B_z = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 \| \sqrt{x^2+y^2}\leq \sqrt{4-z^2}\right\} \end{eqnarray}$ . Das innere Integral kann man am einfachsten über Polarkoordinaten ausrechnen, ich erhalte also durch den Transformationssatz mit x = rcos(t), y = rsin(t) : $\begin{eqnarray} \int_{B_z} \! \sqrt{x^2+y^2+z^2}\, d\lambda^2(x,y) \ \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \int_{0}^{\sqrt{4-z^2}} \! \sqrt{r^2+z^2}r\, dr \, du \end{eqnarray}$ . Letztere kann man durch Substitution lösen t=r^2+z^2: $\begin{eqnarray} 2\pi \int_{z^2}^{4} \! \sqrt{t}/2 \, dt =2\pi* \left[\sqrt{t^3}/3\right]_{z^2}^{4} = 2\pi * \sqrt{4^3} /3 - 2\pi * \sqrt{z^6}/3 = 16\pi/3 - 2\piz^3/3 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \int{} \! \sqrt{x^2+y^2+z^2} d\lambda^3(x,y,z)\ = \int_{-2}^{2} \! 16\pi/3 - 2\piz^3/3 \, d\lambda(z) = \left[\frac{16\pi}{3} z - 2\piz^4/12\right]_{-2}^{2} = 4\frac{16\pi}{3} = \frac{64\pi}{3} \neq 16\pi \end{eqnarray}$ Was mache ich falsch ? Das Ergebnis müsste ja identisch mit dem Lösungsweg durch Anwendung von Kugelkoordinaten sein.

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