Bei Nullstellensuche durch x Teilen erlaubt? Nullstelle verloren

06.02.2017, 18:33

Enomine

Bei Nullstellensuche durch x Teilen erlaubt? Nullstelle verloren

Hidiho!

Die Aufgabe:
Wann nimmt die Funktion
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^2 + 2x)}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$
den Wert y=0 an?

Lösungsansatz:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^2 + 2x)}{(x+1)^2} = 0 \hspace*{50mm}|*(x+1)^2 x^2 + 2x = 0 \hspace*{65mm}|-2x x^2 = -2x \hspace*{74mm}|:x x = -2 \hspace*{87mm} \end{eqnarray*}$

Obwohl ich dachte dies wäre richtig, war es falsch. Die richtige Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x^2 + 2x)}{(x+1)^2} = 0 \hspace*{50mm}|*(x+1)^2 x^2 + 2x = 0 \hspace*{40mm}| x Ausklammern x(x + 2) = 0 \hspace*{75mm} x_1 : 0 \hspace*{90mm} x_2 : x + 2 = 0 \hspace*{73mm} x_2 : x = -2 \hspace*{77mm} \end{eqnarray*}$

Fragen:
Hat das was im ersten Fall falsch gemacht wurde einen Namen?
Gibt es dafür eine Regel?
Wie bringt man dies einem Schüler bei?
Mit welcher Begründung darf man das so nicht machen?

Ist die Regel "Bei der Suche nach Nullstellen darf ich niemals durch x Teilen!" allgemeingültig?

Danke - Enomine

06.02.2017, 18:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Enomine
Hat das was im ersten Fall falsch gemacht wurde einen Namen?

Ja: Die Regel heißt "Division durch Null ist nicht erlaubt".

Im Klartext: Ist $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ , dann darfst du an dieser Stelle dividieren, sonst nicht. D.h., folgende Fallunterscheidung wäre Ok:

1.Fall $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ : Hier darf dividiert werden, dein Weg ist also korrekt und führt zu $\begin{align*} x=-2 \end{align*}$ .

Damit ist es aber zwingend erforderlich (!), auch den anderen (bisher "liegengelassenen") Fall zu untersuchen:

2.Fall $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ : Durch Einsetzen überprüft man, dass $\begin{align*} x^2=-2x \end{align*}$ (das ist die Stelle, wo die Division oben anstand) für dieses $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ erfüllt ist (da steht dann nämlich die korrekte Aussage $\begin{align*} 0=0 \end{align*}$ ), also ist auch $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ Lösung.

P.S.: Ausgehend von $\begin{align*} x(x+2)=0 \end{align*}$ ist der direktere Weg aber natürlich die Anwendung der Eigenschaft

Zitat:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

so wie du es ja weiter unten auch dargestellt hattest.

06.02.2017, 19:07

Enomine

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Hey,

danke für die Antwort.
Das Problem ist, dass der Fehler für einen unerfahrenen gar nicht ersichtlich war. In der Klausur hätte ich jetzt einfach hingeschrieben, dass es nur einen Nullpunkt gibt. Es gab für mich kein Anzeichen, dass dies nicht so sei, bis ich es im Internet kontrolliert habe.

Meine Fragen zielen also darauf ab:
Wie lässt sich dieser Fehler in Zukunft vermeiden?
Bei der Nullstellenberechnung nie wieder durch x Teilen? (Weil x ja auch 0 sein könnte)
Kann ich das Teilen durch x bei der Nullstellenberechnung generell weg lassen oder gibt es Fälle, wo es zwingend benötigt wird um auf das Ergebnis zu kommen?

Danke - Enomine

06.02.2017, 19:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Enomine
Kann ich das Teilen durch x bei der Nullstellenberechnung generell weg lassen oder gibt es Fälle, wo es zwingend benötigt wird um auf das Ergebnis zu kommen?

Durch die oben bereits genannte Eigenschaft

Zitat:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

erübrigt sich diese Division tatsächlich.

Zitat:

Original von Enomine
Wie lässt sich dieser Fehler in Zukunft vermeiden?

Wie oft soll ich das denn noch wiederholen: Du musst einfach vor jeder Division prüfen, ob sie gestattet ist - IMMER, d.h., ob der Divisior ungleich Null ist. Und wenn das eine Fallunterscheidung erfordert, dann musst du sie eben durchführen!

Wenn du z.B. durch $\begin{align*} (x^2-3x+2) \end{align*}$ dividierst, dann ist das eben nur für die $\begin{align*} x \end{align*}$ zulässig, für die $\begin{align*} x^2-3x+2\neq 0 \end{align*}$ ist!!! Es gibt keinen leichteren Weg.

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