Ellipse aus zwei Nebenbedingungen (Punkt und Steigung in diesem Punkt) bestimmen

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Malion Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipse aus zwei Nebenbedingungen (Punkt und Steigung in diesem Punkt) bestimmen
Meine Frage:
Hallo!
Es geht um die Konstruktion einer Art Kreuzgewölbe aus Papier. Die Frage ist: wie müssen die vier (gleichen) Teile aus Papier geschnitten werden, um das Gewölbe basteln zu können?
Die Teile müssten (meiner Meinung nach) ähnlich wie ein Dreieck aussehen (siehe Skizze rechts oben), wo die eine Seite pi*r (r=Radius des Gewölbes;der Einzige Parameter von dem die Lösung abhängen sollte) lang ist und die anderen beiden Seiten zu Ellipsen verformt sind wie in der Skizze angedeutet. Die Höhe dieses Dreiecks muss r betragen und der Winkel, in dem sich die Ellipsen treffen 90°.

Meine Ideen:
Nach etwas Überlegen bin ich zu dem Schluss gekommen, dass solch ein Gewölbe quasi den Schnitt zweier orthogonaler Halbzyliner darstellt und der Punktsymmetrie des Gebildes folgt, dass diese beide in z-Richtung und im 45° Winkel zu den Seiten geschnitten sein müssen. Analog zu den Schnitten durch einen Zylinder ergibt sich somit eine halbe Ellipse.

Zur Bestimmung der Viertel Ellipsen für die Konstruktion der 4 Teile nehme ich die allg. Ellipsenformel nur für x>0 && y>0:

Am Ende muss für den Schnittpunkt der beiden Ellipsen der Schnittwinkel 90° sein, daher muss sein, wobei ist, damit der Schnittpunkt in der Mitte des Dreiecks liegt und die Achsensymmetrie erhalten bleibt. Gleichzeitig muss gelten. Damit habe ich ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen und ich würde denken, dass man dieses korrekt nach a und b auflösen können müsste. Der Einfachheit halber hierzu ein Wolframalpha link:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(b++(pi/2*r))/(a+sqrt(a^2+-+++(pi/2*r)^2))=-1,+b*sqrt(a^2-+(pi/2*r)^2)/a+r=b+for+a,b
Als Ergebnis kommen raus und .

Offensichtlich kann das nicht stimmen, da b>r ist. Konstruiert man die entsprechende Ellipse und rückt alles an den rechten Platz, dann sieht man, dass der untere Schnittpunkt der beiden Ellipsen die richtige Entfernung zu der Grundseite des Dreiecks hat aber der obere eben zu nahe daran liegt.


Ich hoffe es ist halbwegs klar was ich mit all dem meine und jemand hat eine gute Idee das anzugehen/weiß wo mien Fehler liegt.
Viele Grüße, Malion

[attach]43860[/attach]


Mir ist gerade aufgefallen, dass bei dem Wolframlink durcheinander gegangen ist, außerdem kommt die angegebene Lösung dann raus, wenn man das - der Ableitung vergisst...
Leider hilft mir das Ergebnis mit dem Minus auch nicht viel weiter, da beide Lösungen komplex sind, Wolframinput: solve b*sqrt(a^2-(pi/2*r)^2)/a+r=b, -b*(pi/2*r)/(a*sqrt(a^2-(pi/2*r)^2))=-1 for a,b

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ausgehend von der Ellipsengleichung

und der Forderung, dass die Steigung in dem Ellipsenpunkt P(x1; y1) gleich -1 ist, ergeben sich die beiden Gleichungen

--------------------------------

(implizite Ableitung, y' ist die Steigung, --> -1)


--------------------------------



damit



Dazu braucht's keinen Wolfram. Big Laugh

mY+
 
 
Malion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos,
danke dass du dich meiner annimmst! (:
Bei dem ganzen Durcheinander in meiner Problembeschreibung hab ich mich vermutlich nicht verständlich ausgedrückt. Oder in deiner Lösung fehlt mir noch der letzte Schritt um auf das Endergebnis zu kommen. Hammer
Eigentlich geht es mir darum die Parameter (bleiben wir mal beim allgemeinen Fall, das mit b =3 und a=4 war nur das eingezeichnete Beispiel) a und b rauszufinden. Sodass die entstehende Parabel an dem Punkt die Steigung -1 hat; kenne ich (da und noch unbekannt) nicht, es muss aber der Bedingung genügen (damit dann der Punkt in dem sich alle Gewölbeteile treffen auch wirklich in der Mitte liegt).

Mit deinem Ansatz käme ich dann auf:


bzw wenn ich schon meine Nebenbedingungen und


wenn ich jetzt nach und auflösen möchte (sorry, ich habe wieder Wolframalpha bemüht...) erhalte ich entweder Lösungen wo und/oder oder mit komplexem und negativem ...

Ich hoffe du hast noch mal einen Augenblick Zeit es dir anzuschauen, ich kann mir eigentlich nicht vorstellen, dass es dazu garkeine reelle Lösung gibt oder?
Malion Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für den erneuten Doppelpost, ab jetzt bin ich registriert und kann auch editieren (;
Eventuell stimmt auch irgendwas mit meinen Grundannahmen nicht?
Bei WWW sketchup.kunstbrowser.de/?page_id=328 (sorry, dass es nicht direkt ein Link ist aber irgendwie bekomme ich noch den Fehler, dass nur registrierte (bin ich) ODER User mit ausreichend Beiträgen Links posten können...) sieht man ganz schön, was ich machen möchte, evtl. hat jemand dann eine bessere Idee da ran zu gehen. Die Frage ist quasi "Wie müsste man die Blauen Deckenteile aus Papier schneiden um es nachzubasteln?"
LG Malion
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

... hatte ich fast befürchtet, dass dies nicht so einfach ist.
In der Tat dürften hier (mathematisch) unerfüllbare Voraussetzungen/Forderungen* aufeinandertreffen, sodass es hierzu nur eine komplexe Lösung gibt.

(*) x1 = r*(pi/2) und y1 = b-r --> r kann damit bei einer Ellipse nicht kleiner sein als b

Somit hast du Recht, dass deine Grundannahmen zu revidieren sind.

mY+
Malion Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmh...schade.
Eventuell liegt mein Fehler darin, dass es sich zwar um einen Zylinderschnitt handelt und Schnittfläche zwar ellipsoid ist, aber wenn man das Deckenteil aufklappt, der Bogen nicht mehr dieser Ellipse entspricht. Damit wäre die Annahme, dass es sich um zwei sich schneidende Ellipsen handeln muss falsch.
Ich probiere jetzt mit nem CAD Programm die entsprechende Schablone zu fertigen, da mir sonst kein Ansatz mehr einfällt.
Vielen Dank für deine Mitarbeit!
Malion Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung
Moin moin,
ich habe mich heute Nacht nochmal dran gesetzt und bin noch recht fix auf eine Lösung gekommen, der Vollständigkeit halber poste ich sie auch nochmal:
In der Skizze links ist das fertige Konstrukt in rot von oben zu sehen, gestrichelte Linien sind die gebogenen Außenkanten, die durchgezogenen sind das Kreuz, das von oben zu sehen ist.
Der Abstand der Kreuzlinie zu der Randlinie (rechts bei positiven X) ist einfach

Diesen Abstand müssen wir jetzt über den Kreisumfang auftragen. Aus der rechten Skizze ist ersichtlich (wobei wegen des 45° Winkels):
das lässt sich über U einfach ausdrücken als .
Setzen wir das alles ineinander ein erhalten wir die Lösung:
Aufgetragen von U=[0;pi/2*r] ergbit das genau eine Hälfte von der symmetrischen Schnittschablone.
Viele Grüße, Malion


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