Fouriertransformation - Zeitverschiebung

07.02.2017, 09:35	Ullus_Parvus	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformation - Zeitverschiebung Hallo zusammen, Ich will die Fouriertransformierte für folgende zeitverschobene Vorzeichenfunktion berechnen: $\begin{eqnarray} f(x) = sgn(\frac{t}{2} + 1) \end{eqnarray}$ Der Zeitverschiebungssatz besagt: $\begin{eqnarray} f(t-a) \Leftarrow \Rightarrow e^{-i\omega a} \cdot F(\omega) \end{eqnarray}$ Desweiteren habe ich eine Tabelle mit Transformationspaaren vorliegen, die für die Vorzeichenfunktion folgendes besagt: $\begin{eqnarray} f(t) = sgn(t) \Leftarrow \Rightarrow F(\omega) = \frac{2}{i\omega} \end{eqnarray}$ Damit komme ich als Ergebnis auf: $\begin{eqnarray} F(\omega) = e^{-i \omega \cdot -1} \cdot \frac{2}{i \omega} = 2 \frac{e^{i\omega}}{i\omega} \end{eqnarray}$ Korrekte Lösung soll aber sein: $\begin{eqnarray} F(\omega) = 2 \frac{e^{i4\omega}}{i\omega} \end{eqnarray}$ Wo kommt die 4 im Exponent des Zählers her? Und, das "a", also die Zeitverschiebungskomponente ist doch -1, oder? Vielen Dank schon mal für eure Hinweise. LG
07.02.2017, 11:24	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation - Zeitverschiebung Willkommen im Matheboard! Der Verschiebungssatz ist nur die halbe Miete! Du brauchst vorher noch den Ähnlichkeitssatz $\begin{align} f(a \cdot t) \to \frac 1 {\|a\|} \cdot F\left( \frac { \omega }a \right) \end{align}$ . Erst durch die Kombination von beiden kannst Du $\begin{align} sgn \left( \frac t2 + 1 \right) \end{align}$ korrekt transformieren. Viele Grüße Steffen
07.02.2017, 13:33	Ullus_Parvus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Steffen, danke Dir für den Hinweis, macht Sinn. Wenn ich erst den Ähnlichkeitssatz anwende, komme ich auf $\begin{eqnarray} F(\omega) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot F(\frac{\omega}{\frac{1}{2}}) = 2 \cdot \frac{2}{i \cdot \frac{\omega}{\frac{1}{2}}} = \frac{4}{i2\omega} = \frac{2}{i\omega} \end{eqnarray}$ Aber wenn ich jetzt den Zeitverschiebungssatz anwende, komme ich auf dasselbe Ergebnis, auf das ich vorher kam. D.h. irgendetwas mache ich bei der Kombination der beiden Sätze offensichtlich falsch. Kannst Du mir nochmal helfen? LG
07.02.2017, 13:38	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, die Funktionen $\begin{align} sgn(t) \end{align}$ und $\begin{align} sgn \left( \frac t2 \right) \end{align}$ können ja keinen Unterschied ergeben. So muss also tatsächlich zuerst verschoben werden und dann erst gestreckt. Das heißt, es geht um die Transformation $\begin{align} t \to \frac t2 + 1 = \frac {t+2}2 \end{align}$ .
07.02.2017, 18:40	Ullus_Parvus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schätze, ich versteh da noch was Grundsätzliches nicht, v.a. weil ich nicht weiß, wo ich Deinen Hinweis $\begin{eqnarray} t \to \frac t2 + 1 = \frac {t+2}2 \end{eqnarray}$ einbauen soll. Einer meiner Versuche: 1. Zeitverschiebung: $\begin{eqnarray} F(\omega) = e^{-i \omega \cdot -1} \cdot \frac{2}{i \omega} = 2 \frac{e^{i\omega}}{i\omega} \end{eqnarray}$ 2. Diese Fouriertransformierte dann gestreckt: $\begin{eqnarray} F(\omega) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot F(\frac{\omega}{\frac{1}{2}}) = 2 \cdot 2\frac{e^{i\frac{\omega}{\frac{1}{2}}}}{i\frac{\omega}{\frac{1}{2}}} = 4\frac{e^{i2\omega}}{i2\omega} \end{eqnarray}$ Was mache ich hier falsch?
07.02.2017, 20:00	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Du musst eben erst nicht um 1, sondern um 2 verschieben. Und dann durch 2 teilen.
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07.02.2017, 21:02	Ullus_Parvus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir, ich denke, ich hab's jetzt: 1. Zeitverschiebungssatz mit a = -2: $\begin{eqnarray} F(\omega) = e^{-i\omega\cdot (-2)} \cdot \frac{2}{i\omega} = 2 \frac{e^{i2\omega}}{i\omega} \end{eqnarray}$ 2. Ähnlichkeitssatz mit a = 1/2 (also die Fouriertransformierte von Schritt 1 durch 1/2 und nicht durch 2 teilen): $\begin{eqnarray} F(\omega) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot F(\frac{\omega}{\frac{1}{2}}) = 2 \cdot 2 \frac{e^{i2\frac{\omega}{\frac{1}{2}}}}{i\frac{\omega}{\frac{1}{2}}} = 4\frac{e^{i4\omega}{}}{i2\omega} = 2\frac{e^{i4\omega}}{i\omega} \end{eqnarray}$ Das würde zmd. der Angabe in unseren Lösungen entsprechen. Falls das korrekt ist, habe ich noch allgemeine Fragen dazu: 1. Entspricht das Vorgehen generell dieser Reihenfolge, d.h. erst Zeitverschiebung, dann Streckung/Stauchung? Was ist, wenn noch eine Frequenzverschiebung dabei ist? 2. Nehme ich als Input für die Folgeoperation immer das Ergebnis aus der Vorgänger-Operation? Konkret: Oben hab ich ja in Schritt 2 die Fouriertransformierte aus Schritt 1 gestreckt lt. Ähnlichkeitssatz, und nicht die ursprüngliche Fouriertransformierte. 3. Wie kamst Du drauf, $\begin{eqnarray} t \to \frac t2 + 1 = \frac {t+2}2 \end{eqnarray}$ zu nutzen? Im Prinzip ist das ja nur eine Erweiterung des Bruches und stellt dasselbe dar. Aber wenn ich erst mit a = -1 verschiebe (statt a = -2), komme ich ja offensichtlich zum falschen Ergebnis. LG
08.02.2017, 10:23	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier ja um Verknüpfungen von Funktionen. Man kann ja $\begin{align} f(t) = sgn \left( \frac{t}{2} + 1 \right) \end{align}$ aufteilen in $\begin{align} u_1(t) = sgn(t) \end{align}$ $\begin{align} v_1(t) = t+1 \end{align}$ $\begin{align} w_1(t) = \frac{t}{2} \end{align}$ und dann $\begin{align} f(t) = u_1(v_1(w_1(t))) \end{align}$ schreiben. Also erst halbieren, dann plus Eins, dann Signum. Aber man kann eben auch in $\begin{align} u_2(t) = sgn(t) \end{align}$ $\begin{align} v_2(t) = \frac{t}{2} \end{align}$ $\begin{align} w_2(t) = t+2 \end{align}$ und dann $\begin{align} f(t) = u_2(v_2(w_2(t))) \end{align}$ schreiben. Also erst plus Zwei, dann halbieren, dann Signum. Im Zeitbereich kommt dieselbe Funktion heraus. Nur macht es offenbar einen Unterschied, in welcher Reihenfolge man dann die einzelnen Transformationssätze anwendet. Das ist mir auch erst im Laufe des Threads aufgefallen. Eventuell kann hierzu jemand anders mehr sagen. Viele Grüße Steffen

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