Funktionenfolge, Konvergenz fast überall

07.02.2017, 15:03	.unknown.	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenfolge, Konvergenz fast überall Meine Frage: Hallo zusammen. ich bereite mich gerade auf die Klausur von Analysis 3 vor und bin auf ein Problem gestossen. Sei $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{A},\mu) \end{eqnarray}$ ein Massraum und sei $\begin{eqnarray} \{f_n\}_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ eine beschränkte Folge in $\begin{eqnarray} L^2(\Omega) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}f_n(x)\rightarrow 0 \ \mu \end{eqnarray}$ -fast überall auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Es existiert eine Nullmenge $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} C<\infty \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f_n(x)\leq C \ \forall x \in N^c \end{eqnarray}$ und somit konvergiert die Folge $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}f_n \leq \frac{C}{n} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} N^c \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -fast überall. Die Lösung die ich dazu habe ist allerdings viel umständlicher (mit Chebyshev etc.) Meine Frage nun: Ist meine Lösung auch eine Möglichkeit oder ist sie falsch?
07.02.2017, 15:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionenfolge, Konvergenz fast überall Mit beschränkter Folge in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ meint man, dass ein $\begin{eqnarray} C > 0 \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \\| f_n\\|_{L^2} \leq C \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Man meint nicht, dass jedes $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ beschränkt ist, insbesondere nicht durch eine von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unabhängige Konstante.
11.02.2017, 19:01	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Umständlich muss man das nicht wirklich machen, das geht in drei Zeilen: Zuerst können wir o.B.d.A. annehmen, dass $\begin{align} f\geq 0 \end{align}$ , ansonsten Übergang zu $\begin{align} \|f\| \end{align}$ . Danach definieren wir $\begin{align} S(x) := \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k}f_k(x)\right)^2 \end{align}$ , wohldefiniert wegen Positivität. Es folgt mit dem Satz über monotone Konvergenz, dass $\begin{align} \\|S\\|_{L^1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\int (f_k(x))^2\dd\mu = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\\|f_k\\|_{L^2}^2\leq C\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}<\infty \end{align}$ . Also definiert $\begin{align} S \end{align}$ eine $\begin{align} L^1 \end{align}$ -Funktion, die insbesondere fast überall endlich sein muss. Die $\begin{align} S \end{align}$ definierende Reihe konvergiert also fast überall und dort wo sie konvergiert, ist die summierte Folge eine Nullfolge. Man sieht am Beweis sofort, dass das Argument auch für alle anderen $\begin{align} p>1 \end{align}$ , nicht nur für $\begin{align} p=2 \end{align}$ gilt.

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