Grenzwert von Folge und Summe

07.02.2017, 16:33

Nomeal

Grenzwert von Folge und Summe

Meine Frage:
Hallo Zusammen!

Stecke gerade mitten in der Klausurvorbereitung für Ana1 und bin auf Folgendes gestoßen, wo ich nicht weiter weiß:

$\begin{eqnarray*} 1) \lim_{x \to \infty} \frac{arctan(x)-\frac{\pi}{2} }{sin(\frac{1}{x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \sum\limits_{x=1}^{\infty} \frac{(x+1)^{2}}{x!} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1) Hier bräuchte ich einen Ansatz den Limes zu berechnen. L´Hospital bringt einen da nicht weiter.

2) Ich weiß, dass die Reihe konvergiert (Quotientenkriterium) brauche aber den Grenzwert. Teleskopsummen haben mir bisher auch nicht geholfen.

Danke schonmal! (:

07.02.2017, 16:48

HAL 9000

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1) Vielleicht sollte man vorab eine Substitution der Grenzwertvariablen vornehmen, nämlich $\begin{align*} t=\frac{1}{x} \end{align*}$ : Dann haben wir

$\begin{align*} \lim_{x\to \infty} \frac{\arctan(x)-\frac{\pi}{2}}{\sin\left(\frac{1}{x}\right)} = \lim_{t\to +0} \frac{\arctan\left(\frac{1}{t}\right)-\frac{\pi}{2}}{\sin(t)} = \lim_{t\to +0} \frac{\operatorname{arccot}(t)-\frac{\pi}{2}}{\sin(t)} = -\lim_{t\to +0} \frac{\arctan(t)}{\sin(t)} \end{align*}$ .

2) $\begin{align*} x \end{align*}$ als ganzzahliger Summationsindex ist irgendwie blöd (Leopold wird mir beipflichten), ich ändere es mal in $\begin{align*} n \end{align*}$ . Und dann ist es die e-Reihe, immer nur die e-Reihe:

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1)+3n+1}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{{\color{red}1}}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\color{green}3}}{(n-1)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\color{blue}1}}{n!} = ({\color{red}1}+{\color{green}3}+{\color{blue}1})e-1 = 5e-1 \end{align*}$ ,

die "-1" am Ende, weil die letzte e-Reihe erst ab Index 1 statt 0 beginnt.

07.02.2017, 17:10

Nomeal

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Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!

zu 2) natürlich! wenn man es einmal sieht ist es total klar....

zu 1) und dann? Ich meine dann steht man ja vor dem eben gleich Problem wie vorher, oder sehe ich das falsch?

07.02.2017, 17:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nomeal
zu 1) und dann? Ich meine dann steht man ja vor dem eben gleich Problem wie vorher, oder sehe ich das falsch?

Ich wüsste nicht, aus welchem Grund L'Hospital dort scheitern sollte.

07.02.2017, 17:30

Nomeal

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Stimmt mit deinen Umformungen und L´Hospital kommt man dann auf den Grenzwert -1. Danke (:

07.02.2017, 18:17

Mathematicax33

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@Hal9000

Kannst du bitte genauer erläutern wie man jetzt bei der 1) auf den Grenzwert -1 kommt ?

07.02.2017, 18:39

HAL 9000

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Du kennst L'Hospital nicht?

07.02.2017, 18:57

Mathematicax33

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Doch klar .
Nur wäre ich so vorgeangen:

\frac{arctan(x)- \pi/2}{sin(1/x)}

Da hier ein Ausdruck der Form "0"/"0" steht, darf ich l'Hopital anwenden.

Ich käme aber (jetzt ohne Substitution) mit den Ableitungen auf:

\frac{1/(1+x^2)}{-cos(1/x)1/x^2)}

Das ungeformt ergibt ja:
\frac{-cos(1/x)1/x^2}{1+x^2}

Und das konvergiert ja dann gegen null...oder?

07.02.2017, 19:01

Mathematicax33

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oh nein,ich kenn mich garnicht aus mit dieser Latex Schreibweise.. traurig

jetzt sieht das alles so komisch aus ich versuchs kurz nochmal und hoffe dass es hinhaut:

Nur wäre ich so vorgeangen:

$\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x)- \pi/2}{sin(1/x)} \end{eqnarray*}$

Da hier ein Ausdruck der Form "0"/"0" steht, darf ich l'Hopital anwenden.

Ich käme aber (jetzt ohne Substitution) mit den Ableitungen auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1/(1+x^2)}{-cos(1/x)1/x^2)} \end{eqnarray*}$

Das ungeformt ergibt ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{-cos(1/x)1/x^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Und das konvergiert ja dann gegen null...oder?

07.02.2017, 19:21

Mathematicax33

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Also muss man dann quasi gezwungenerweise vorerst substituieren , geht das nicht schon direkt ?

Und mein letzter Bruch kann doch garnicht gegen -1 konvergieren weil im Zähler 1/x^2 steht und der konvergiert ja gegen 0 verwirrt

08.02.2017, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathematicax33
Das ungeformt ergibt ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{-cos(1/x)1/x^2}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Ich weiß ja nicht, was du da rechnest. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{-cos(\frac 1 x) \cdot (1+x^2)} \end{eqnarray*}$

Und dann klappt das auch mit dem Grenzwert -1. Man sieht, es geht bequem auch ohne Substitution. Augenzwinkern

Und ab damit in den Hochschulbereich.

08.02.2017, 10:19

Mathematicax33

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ich weiß ja nicht, was du da rechnest. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{-cos(\frac 1 x) \cdot (1+x^2)} \end{eqnarray*}$

Und dann klappt das auch mit dem Grenzwert -1. Man sieht, es geht bequem auch ohne Substitution. Augenzwinkern

Erstmal danke Augenzwinkern

selbst wenn ich den Beitrag nicht eröffnet habe , bin momentan selbst dabei zu üben und hab mir die Aufgabe dann geschnappt.

Wie kann ich es mathemetisch korrekt darstellen dass dein Ausdruck gegen -1 geht..der zähler geht da gegen unendlich, im nenner geht $\begin{eqnarray*} -cos(\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$ gegen - 1 und $\begin{eqnarray*} (1+x)^2 \end{eqnarray*}$ gegen unendlich. Aber ich kann ja wohl schlecht "unendlich kürzen " oder ? verwirrt

Danke im voraus !

08.02.2017, 10:47

klarsoweit

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Man nimmt halt eine der bei Polynomen üblichen Umformungen (hier Kürzen durch x²):

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{-cos(\frac 1 x) \cdot (1+x^2)} = \frac{1}{-cos(\frac 1 x) \cdot (1+\frac{1}{x^2})} \end{eqnarray*}$

08.02.2017, 11:14

Mathematicax33

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Oh Gott bin ich blöd Big Laugh

Danke !!

Komplettzitat entfernt. (klarsweit)

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