Potenzreihe Konvergenz

07.02.2017, 17:13

1234abcd

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Potenzreihe Konvergenz

Meine Frage:
Hallo Zusammen,
ich habe eine Teilaufgabe bei der ich seit einiger Zeit schon nicht weiterkomme. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die folgende Potenzreihe konvergent?
b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{3^k+(-2)^k}{k}* (x+1)^k \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich habe bisher schon den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty } \sqrt[k]{a_{k} } } =\frac {1}{3} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.
Das heißt ja, dass auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} x\in (-\frac{4}{3},-\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$ sein muss, ich aber noch die Räder extra auf Konvergenz überprüfen muss.

Da genau ist mein Problem. Ich habe jetzt schon seit einiger Zeit versucht mit den unterschiedlichen Konvergenzkriterien für Reihen zu überprüfen, ob diese für dei Randwerte konvergiert oder divergiert, bekomme aber nichts gescheites raus oder stehe irgentwann am Ende meiner Umformkünste...

Die erste Reihe für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ lautet dann ja
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{3^k+(-2)^k}{k}* (-\frac{1}{3})^k \end{eqnarray*}$
und für die zweite Reihe für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{3^k+(-2)^k}{k}* (\frac{1}{3})^k \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ihr mir einen Tipp dazu geben könnt...

07.02.2017, 17:24

HAL 9000

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RE: Potenzreihe Konvergenz

Zitat:

Original von 1234abcd
Die erste Reihe für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ lautet dann ja
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{3^k+(-2)^k}{k}* (-\frac{1}{3})^k \end{eqnarray*}$
und für die zweite Reihe für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{3^k+(-2)^k}{k}* (\frac{1}{3})^k \end{eqnarray*}$
Ich hoffe, dass ihr mir einen Tipp dazu geben könnt...

Ja: Potenzen zusammenfassen:
Für $\begin{align*} x=-\frac{4}{3} \end{align*}$ ergibt das $\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^k+\left(\frac{2}{3}\right)^k}{k} \end{align*}$ , und für $\begin{align*} x=-\frac{2}{3} \end{align*}$ dann $\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1+\left(-\frac{2}{3}\right)^k}{k} \end{align*}$ .

Der jeweils zweite Summand im Zähler ist uninteressant - die Teilreihen konvergieren beide. Was zählt, ist der erste Summand, und da sollte ersichtlich sein, was passiert...

07.02.2017, 17:29

Mathematicax33

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RE: Potenzreihe Konvergenz
Kannst du mir mal sagen wie du auf die 1/3 kommst ?
Also dass die kte Wurzel gegen 3 verläuft

07.02.2017, 18:27

1234abcd

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RE: Potenzreihe Konvergenz
Also hier mal der Weg, wie ich auf die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ gekommen bin:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\limsup_{k \to \infty }\sqrt[k]{\frac{3^k+(-2)^k}{k}} } = \frac{\sqrt[k]{k} }{\limsup_{k \to \infty }\sqrt[k]{3^k+(-2)^k}} =\frac{1}{\lim_{k \to \infty }\sqrt[k]{3^k+2^k}}\geq \frac{1}{\lim_{k \to \infty }\sqrt[k]{2*3^k}}=\frac{1}{\lim_{k \to \infty }\sqrt[k]{2}*3}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ich es so überhaupt machen darf...

07.02.2017, 18:36

1234abcd

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RE: Potenzreihe Konvergenz
Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ nicht konvergent ist, aber für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^k}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium (alternierende Reihe und monoton fallende Nullfolge).

Das heißt ja dann, dass $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ noch im Intervall mit drinnen ist, aber $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ nicht mehr oder?

Vielen Dank schonmal .... da habe ich wohl bei dem Vereinfachen der beiden Summe einen kleinen Fehler gemacht Hammer

Hammer

07.02.2017, 18:36

HAL 9000

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RE: Potenzreihe Konvergenz
Etwas sauberer geht es so: Es ist

$\begin{align*} \left| (-2)^k \right| = 2^k < \frac{1}{2}\cdot 3^k \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq 2 \end{align*}$

und folglich im Sandwich $\begin{align*} \frac{1}{2}\cdot 3^k < 3^k + (-2)^k < \frac{3}{2}\cdot 3^k \end{align*}$ für diese $\begin{align*} k \end{align*}$ . Und dann so ähnlich weiter wie bei dir, nur eben nach beiden Seiten "abgesichert".

Zitat:

Original von 1234abcd
Das heißt ja dann, dass $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ noch im Intervall mit drinnen ist, aber $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ nicht mehr oder?

Ja.

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07.02.2017, 18:36

Mathematicax33

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RE: Potenzreihe Konvergenz
Ach so hast du das gemacht...
Hm, sieht eigentlich nicht falsch aus, wobei ich mir jetzt auch unsicher bin ob man bei dem Fall einfach mit ner Majorante weitermachen kann verwirrt

verwirrt

07.02.2017, 18:38

Mathematicax33

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RE: Potenzreihe Konvergenz
ja mit der Sandwich Methode hauts besser hin !

07.02.2017, 18:47

1234abcd

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RE: Potenzreihe Konvergenz
Danke vielmals auf jeden Fall!

noch eine Dumme Frage...

wenn eine Teilreihe divergent ist und eine konvergent, kann man dann daraus folgern, dass die ganze Reihe divergent ist?

07.02.2017, 19:04

Mathematicax33

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RE: Potenzreihe Konvergenz
Ich glaube du kannst hier höchstens von Absoluter und nicht absoluter Konvergenz sprechen..

07.02.2017, 19:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von 1234abcd
wenn eine Teilreihe divergent ist und eine konvergent

Was verstehst du unter "Teilreihe"?

Kann es womöglich sein, dass du Reihe (= Folge der Partialsummen) mit Folge der Reihenglieder, bzw. (was Wurzelkriterium betrifft) der n-ten Wurzel von letzterem verwechselst?

07.02.2017, 19:25

1234abcd

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also ich hätte jetzt gesagt, dass wenn ich eine Reihe habe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (a_{k} +b_{k} ) \end{eqnarray*}$ dan ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{k} \end{eqnarray*}$ eine Teilreihe und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } b_{k} \end{eqnarray*}$ eine Teilreihe davon. Stimmt das oder irre ich mich da?

Zitat:

Kann es womöglich sein, dass du Reihe (= Folge der Partialsummen) mit Folge der Reihenglieder, bzw. (was Wurzelkriterium betrifft) der n-ten Wurzel von letzterem verwechselst?

Ich weiß erlich gesagt gerade nicht genau, was du meinst. Was ist der Unterschied zwischen Partialsumme und den Reihengliedern? (sry bin gerade ein bisschen verwirrt...)
Ich hätte eine Reihe jetzt, wie du als erstes, mit einer Folge von Partialsummen definiert...

07.02.2017, 19:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von 1234abcd
also ich hätte jetzt gesagt, dass wenn ich eine Reihe habe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (a_{k} +b_{k} ) \end{eqnarray*}$ dan ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{k} \end{eqnarray*}$ eine Teilreihe und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } b_{k} \end{eqnarray*}$ eine Teilreihe davon.

Der Begriff Teilreihe ist nicht üblich dafür. Das ist einfach die Umformungsregel für die Summe zweier konvergenter Reihen.

07.02.2017, 19:45

1234abcd

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Zitat:

Original von HAL 9000
Der Begriff Teilreihe ist nicht üblich dafür. Das ist einfach die Umformungsregel für die Summe zweier konvergenter Reihen.

ok gut zu wissen smile

smile

Dann gibt es dafür gar keine Bezeichnung? hm, schade eigentlich :P

Wie ist das jetzt, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{k} \end{eqnarray*}$ divergent ist und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } b_{k} \end{eqnarray*}$ konvergent, kann/darf ich dann auf das Konvergenzverhalten von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (a_{k} +b_{k} ) \end{eqnarray*}$ schließen?

07.02.2017, 22:35

HAL 9000

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Ja, dann ist die Summe divergent. Das ist aber keine eigene Regel, sondern als Folgerung ableitbar:

$\begin{align*} \sum_n (a_n+b_n) \end{align*}$

$\begin{align*} \sum_n (a_n+b_n) - \sum_n b_n = \sum_n ((a_n+b_n)-b_n) = \sum_n a_n \end{align*}$

$\begin{align*} \sum_n a_n \end{align*}$

Für den Fall, dass beide $\begin{align*} \sum_n a_n \end{align*}$ und $\begin{align*} \sum_n b_n \end{align*}$ divergent sind, ist aber allgemein keine Aussage über $\begin{align*} \sum_n (a_n+b_n) \end{align*}$ möglich - da kann alles mögliche passieren.

07.02.2017, 22:46

1234abcd

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Super vielen, vielen Dank für deine Mühe, das leuchtet auf jeden Fall sehr ein! Freude

Freude

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