Winkelhalbierende Länge

07.02.2017, 17:31	Smaug1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelhalbierende Länge Meine Frage: Wie kann ich beweisen, dass gilt: 2cos(Gamma/2)/w = 1/a + 1/b in einem Dreieck mit den seiten a,b und c, der Winkelhalbierenden w von "Gamma". Meine Ideen: Ich kann das ganze umformen in: w = 2ab*cos(Gamma/2)/(a+b) Vielleicht funktioniert es auch mit dem Winkelhalbierenden-Satz und dem Satz von Steawrt, allerdings bin ich da nicht weitergekommen.
07.02.2017, 17:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{align} W_A \end{align}$ der Lotfußpunkt von $\begin{align} A \end{align}$ auf $\begin{align} w \end{align}$ , sowie $\begin{align} W_B \end{align}$ der Lotfußpunkt von $\begin{align} B \end{align}$ auf $\begin{align} w \end{align}$ , dann gilt $\begin{align} \|CW_A\| = b\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right), \quad \|CW_B\| = a\cos\left(\frac{\gamma}{2}\right) \end{align}$ . Gemäß Strahlensatz gilt nun $\begin{align} \frac{w-\|CW_A\|}{w-\|CW_B\|} = -\frac{b}{a} \end{align}$ , das ergibt umgestellt $\begin{align} w = \frac{1}{a+b}\left(a\|CW_A\|+b\|CW_B\|\right) \end{align}$ , was über kurzem Weg zu deiner Behauptung führt.
07.02.2017, 19:29	Smaug	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
08.02.2017, 09:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachgereicht noch das passende Bildchen dazu: [attach]43865[/attach] Eigentlich schließt man zunächst $\begin{align} \frac{\|WW_A\|}{\|WW_B\|} = \frac{\|AW_A\|}{\|BW_B\|} \end{align}$ nach Strahlensatz, wegen der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke $\begin{align} ACW_A \end{align}$ und $\begin{align} BCW_B \end{align}$ gilt dann aber im weiteren auch $\begin{align} \frac{\|AW_A\|}{\|BW_B\|} = \frac{\|AC\|}{\|BC\|} = \frac{b}{a} \end{align}$ , so dass es zur obigen Gleichung kommt.

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