Einfache Lösung mit Jacobi-Symbol

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Selina19931 Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache Lösung mit Jacobi-Symbol
Meine Frage:
Hallo, kann mir jemand bitte bei der Aufgabe helfen:


Finde eine möglichst einfache Beschreibung der Menge der Primzahlen p>7 für die

x2 kongruent -35 mod p

eine Lösung hat.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass es über das Jacobi-Symbol laufen muss. Aber ich kann mir keine Darstellung dazu ableiten, weil wir vorher immer nur mit Primzahlen als QR gerechnet hatten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es gibt ja Rechenregeln für diese Jacobi- bzw. eigentlich ja nur Legendre-Symbole, z.B. eben das hier nützliche . Augenzwinkern
 
 
Selina19931 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich glaube ich habe absoluten Mist raus, aber ich habe raus, dass
p kongruent 4 mod 4 &
p kongruent +- 1 mod 15
gilt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt wirklich nicht gut, denn nenne mir mal eine, nur eine Primzahl , die das hier
Zitat:
Original von Selina19931
p kongruent 4 mod 4

erfüllt...

Wie bist du denn vorgegangen? Der übliche Weg führt doch über die oben genannte Multiplikationsregel

,

und dann auf den ersten Faktor den ersten Ergänzungssatz, und auf den zweiten und dritten Faktor das eigentliche Quadratische Reziprozitätsgesetz angewandt. Oder hast du einen anderen Plan? verwirrt
Selina19931 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der 4 habe ich mich vertippt , aber das andere war mein Fehler.
Ich hab mich weiter dran probiert und habe jetzt raus, dass
p kongruent +1 mod 4 &
p kongruent +- 1 mod 5 &
p kongruent +-1 mod 7

Aber das kann so ja eigentlich auch nicht stimmen..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht beenden wir mal diese Trial-and-Error-Dauerschleife, und du legst mal mit Zwischenschritten dar, wie du vorgegangen bist - ich hab schließlich auch oben klar den Plan dargelegt, wie ich diese Aufgabe löse.
Selina19931 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir überlegt, dass entweder -1 wenn p - 1 mod 4 oder 1 wenn p - 1 mod 4.
Weiter ist = und das muss gleich 1 also : p +-1 mod 5.
Und schlussendlich ist entweder - , wenn p - 1 mod 4 oder eben . Und damit p +- 1 mod 7
Und das habe ich versucht miteinander zu kombinieren.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bleib doch erstmal bei dem QRG auf Formelebene - es lohnt sich, wie du gleich sehen wirst:

.

Und wenn du jetzt mal die ganzen (-1)-Potenzen zusammenfasst, wirst du sehen, dass sich die alle in Rauch auflösen, d.h., Wert 1. Es steht also am Ende da

,

es bestehen daher modulo 4 gar keine Forderungen. Und (*) muss man nun aber auch richtig interpretieren:

-35 ist quadratischer Rest modulo , wenn ist. Und das geschieht laut (*) genau dann, wenn

a) ist, oder (!)

b) ist.

D.h., wir suchen alle Primzahlen , die entweder modulo 5 und modulo 7 zugleich quadratischen Reste sind, oder aber zugleich quadratische Nichtreste!!! Im Endeffekt muss man von den zu 35 teilerfremden Resten modulo 35 diejenige Hälfte (also 12 Stück) aufsammeln, die entweder zu a) (6 Stück) oder zu b) (ebenfalls 6 Stück) gehören.
Selina19931 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen , lieben Dank!!
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