Analysis-Aufgabe (Satz von Rolle)

08.02.2017, 14:04

Nomeal

Analysis-Aufgabe (Satz von Rolle)

Hallo Zusammen!

Ich bin in einer Altklausur auf folgende Aufgabe gestoßen:

$\begin{eqnarray*} 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx = a+b+c \end{eqnarray*}$

Gesucht ist eine Lösung im Intervall (0,1) und es wird empfohlen den Satz von Rolle auf eine geeignete Funktion anzuwenden.

Der Satz von Rolle besagt ja, dass in einem Intervall $\begin{eqnarray*} I=[a,b], a<b \end{eqnarray*}$ einer stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} f:I \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a) = f(b) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} c \in I \end{eqnarray*}$ exisitert, sodass $\begin{eqnarray*} f'(c) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Irgendwelche Tipps? Danke schonmal (:

08.02.2017, 14:11

IfindU

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RE: Analysis-Aufgabe (Satz von Rolle)
Schreibe das Problem die Gleichung zu lösen erst in ein Nullstellenproblem um. Das heißt finde $\begin{eqnarray*} g(x) = 0 \iff x \text{ loest die vorige Gleichung} \end{eqnarray*}$ . Dann finde ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f' = g \end{eqnarray*}$ , und schaue ob die Voraussetzungen für den Satz erfüllt sind.

08.02.2017, 14:59

HAL 9000

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Zwei Fragen:

1) Es gibt keinerlei Einschränkungen an a,b,c, d.h., die dürfen beliebig reell sein, also z.B. auch negativ?

2) Ist wirklich eine Lösung im Intervall (0,1) gesucht, oder soll nur nachgewiesen werden, dass eine solche existiert?

Insbesondere 2) macht einen himmelweiten Unterschied im Aufwand aus.

EDIT: Ok, Frage 1) ziehe ich zurück. smile

08.02.2017, 15:21

Nomeal

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Nein man soll tatsächlich nur zeigen, dass eine Lösung in eben jenem Intervall existiert. Freude

08.02.2017, 15:22

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
EDIT: Ok, Frage 1) ziehe ich zurück. smile

Zum Glück. Ich dachte ich hätte wieder etwas übersehen Big Laugh

Noch eine Bemerkung: Den Satz von Rolle mit $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ als Variablen zu formulieren schreit praktisch nach Problemen, wenn die Gleichung ebenfalls die Formvariablen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ aufweist.

08.02.2017, 17:21

Nomeal

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Die Variablen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ sind natürlich jeweils unabhängig von den Anderen. smile

Nun zu deinem Vorschlag:

Als Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ hätte ich dann :

$\begin{eqnarray*} g(x) = 4ax^{3} +3bx^{2} + 2c^{x} - a - b - c \end{eqnarray*}$

Und dazu jetzt eine Stammfunktion? Dann hätte ich ein $\begin{eqnarray*} G(x) \end{eqnarray*}$ und wen $\begin{eqnarray*} G(a) = G(b) \end{eqnarray*}$ ist, wüsste ich, dass es eine Nullstelle gebe nach Rolle?

Ist das der richtige Weg?

08.02.2017, 17:23

IfindU

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Außer dem Tippfehler: Genau.

08.02.2017, 21:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nomeal
und wen $\begin{eqnarray*} G(a) = G(b) \end{eqnarray*}$ ist, wüsste ich, dass es eine Nullstelle gebe nach Rolle?

Ich weise mal ganz vorsichtig auf die Symbolkollision hin:

Die Symbole $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ sind bereits als Funktionsparameter verbraten, da sollte man sie im selben Kontext nicht auch noch als Intervallrandpunkte vereinnahmen. smile

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