Beweis, dass Natürliche Zahl (Induktion)

10.02.2017, 10:23	Babydontmathme	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass Natürliche Zahl (Induktion) Meine Frage: Hallo, ich habe bei der angehängten Aufgabe ein Problem. Ich komme einfach auf keinen grünen Zweig. Kann mir jemand helfen? Oder einen nützlichen Tipp geben? Vielen Dank! Meine Ideen: Beweis mittels vollständiger Induktion: Induktionsanfang ist leicht. Induktionsschritt n->n+1 schwierig, weil ich keine Ideen habe. $\begin{eqnarray} <br /> \left(1+\sqrt{3} \right)^{n+1} + \left(1-\sqrt{3} \right)^{n+1}<br /> \end{eqnarray}$ Ich überlegte folgenden Schritt und seitdem hänge ich fest: $\begin{eqnarray} <br /> \left(1+\sqrt{3} \right)^{n+1} + \left(1-\sqrt{3} \right)^{n}\cdot \left(1-\sqrt{3} \right)<br /> \end{eqnarray}$ bzw. das selbe für den linken Summanden, aber hier endet mein Können, nachdem ich umgeformt habe. Nächster Versuch wäre folgender: $\begin{eqnarray} <br /> \left(1+\sqrt{3} \right)^{n+1} + \left(1-\sqrt{3} \right)^{n+1}= k\in \mathbb N<br /> \end{eqnarray}$ ,wobei ich dann versuche zu zeigen, wieso k eine Natürliche Zahl sein muss.
10.02.2017, 10:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Hast du mal darüber nachgedacht, es ohne Vollständige Induktion zu versuchen? Etwa durch Anwendung des Binomischen Satzes auf beide Terme, da fallen nämlich in der Zusammenfassung die ganzen $\begin{align} \sqrt{3} \end{align}$ -Terme weg. 2) Ein anderer Weg, für den Laien vielleicht etwas ungewöhnlich aussehend, diesmal wieder mit Vollständiger Induktion: Sei $\begin{align} a_n:=\left(1+\sqrt{3}\right)^n+\left(1-\sqrt{3}\right)^n\qquad () \end{align}$ . Dieser Folgenterm hat die Struktur der Lösung einer linearen Differenzengleichung, und zwar einer, deren charakteristische Gleichung die beiden Lösungen $\begin{align} \lambda_{1,2}=1\pm \sqrt{3} \end{align}$ hat. Wenn sie keine weiteren Lösungen hat, ist das die Gleichung $\begin{align} 0 = \left(\lambda-1-\sqrt{3}\right)\left(\lambda-1+\sqrt{3}\right) = \left(\lambda-1\right)^2-3 = \lambda^2-2\lambda-2 \end{align}$ , zugehörig ist dann die Differenzengleichung $\begin{align} a_{n+2} = 2a_{n+1}+2a_n \end{align}$ für $\begin{align} n\geq 0 \end{align}$ mit den Startwerten $\begin{align} a_0=2,a_1=2 \end{align}$ . Aufgrund dieser sämtlich ganzzahligen Koeffizienten ist sofort klar, dass alle Folgenelemente natürliche Zahlen sind - was also noch zu beweisen wäre (wenn man der Theorie der linearen Differenzengleichungen nicht mächtig ist) wäre die Gültigkeit jener Iterationsgleichung $\begin{align} a_{n+2} = 2a_{n+1}+2a_n \end{align}$ basierend auf Definition () der Folge.
10.02.2017, 11:19	Babydontmatheme	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für deine ausführliche Antwort. Deinen zweiten Lösungsvorschlag schaue ich mir mal in Ruhe an. Könntest du deinen ersten vielleicht etwas ausführen? Ich hab den Ansatz nämlich schonmal versucht und bei mir hat sich $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ nicht herausgekürzt. Stattdessen erhielt ich in etwa so etwas: $\begin{eqnarray} <br /> \left(1+\sqrt{3}\right)^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} 1^{n-k}\sqrt{3}^{k}= 1+\sqrt{3}n +\frac{3}{2}(n-1)n+...+3^{\frac{n}{2} } <br /> \end{eqnarray}$ Oder mache ich da ein Fehler beim ausrechnen? [quote]Original von HAL 9000 1) Hast du mal darüber nachgedacht, es ohne Vollständige Induktion zu versuchen? Etwa durch Anwendung des Binomischen Satzes auf beide Terme, da fallen nämlich in der Zusammenfassung die ganzen $\begin{align} \sqrt{3} \end{align}$ -Terme weg.
10.02.2017, 11:35	Babydontmathme	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich bin blöd. Hab es jetzt nochmal mit dem Binomischen Lehrsatz gemacht. Natürlich kürzen sich die $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ heraus, wenn man beide Seiten betrachtet. Vielen Dank nochmal!

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