PT1-Formel transformieren von Laplace- in Differenzen- in z-Transformations-Formel

10.02.2017, 16:04	Lukas2017	Auf diesen Beitrag antworten »
PT1-Formel transformieren von Laplace- in Differenzen- in z-Transformations-Formel Meine Frage: Hallo Ich möchte eine Übertragungsfunktion aus dem Laplace-Bereich erst in eine Differenzengleichung übertragen und anschließend daraus in den z-Bereich. Bei der Formel handelt es sich, um ein PT1-Glied mit der Übertragungsfunktion $\begin{eqnarray} <br /> G(s)=\frac{ks}{s+T1} <br /> \end{eqnarray}$ . Die Parameter sind folgende: $\begin{eqnarray} <br /> T = 0.05; T1 = 3; ks = 2.3;<br /> \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ die diskrete Abtastzeit ist. Ich komme auf eine Lösung, doch die Überprüfung mit Matlab zeigt mir, dass ich einen Fehler mache den ich einfach nicht ausfindig machen kann. Außerdem bin ich mir unsicher, ob ich ein Halte-Glied verwenden sollte oder nicht, da ich ja die System-Gleichung transformiere, d.h. die Gewichtsfunktion. Bei dieser wird das System nicht mittels eines Sprungs angeregt. Es kommt eigentlich nur die Systemdynamik zum Tragen. Im Anhang findet ihr noch einen Plot der zeigt, dass das Matlab-Ergebnis richtig ist und meine Herleitung die kontinuierliche Referenzkurve erst überlagert und im weiteren Verlauf unterlagert, was nicht richtig ist. Es würde mich sehr freuen, wenn in diesem Forum der Fehler meiner Herleitung gefunden werden würde. Meine Ideen: Umstellung der Laplace-Gleichung: $\begin{eqnarray} <br /> G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{ks}{s+T1} <br /> Y(s)s+Y(s)T1 = U(s) ks<br /> \end{eqnarray}$ Transformieren in den Zeitbereich: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{dy(t)}{dt}+ y(t)T1 = u(t)ks <br /> \end{eqnarray}$ Transformieren in den diskreten Bereich (Differenzengleichung) mittels Euler-Rückwärtsverfahren: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{y(k)-y(k-1)}{T} + y(k)T1 = u(k)ks<br /> \frac{1}{T}y(k) - \frac{1}{T}y(k-1) + y(k)T1 = u(k)ks<br /> \end{eqnarray}$ Transformieren in den z-Bereich: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{T}Y(z) - \frac{1}{T}Y(z)z^{-1} + Y(z)T1 = U(z)ks<br /> Y(z)\left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T}z^{-1} + T1 \right) = U(z)ks<br /> Y(z)\left( \frac{z+T1Tz-1}{Tz} \right) = U(z)ks<br /> Y(z)\left( \frac{z(1+T1T)-1}{Tz} \right) = U(z)ks<br /> \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{ksTz}{z(1+T1T)-1} <br /> \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{ks\frac{T}{1+T1T}z}{z-\frac{1}{1+T1T}} <br /> \end{eqnarray}$ Werte eingesetzt: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{0.1z}{z-0.8696} <br /> \end{eqnarray}$ Überprüfung via Matlab liefert: Anmerkung: Matlab verwendet wahrscheinlich zusätzlich noch ein Halte-Glied 0ter Ordnung. $\begin{eqnarray} <br /> \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{0.1068}{z-0.8607} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Lösung mit Halte-Glied 0ter Ordnung: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{z-1}{z} \frac{0.1z}{z-0.8696} <br /> \frac{Y(z)}{U(z)}= \frac{0.1z^{2}-0.1z}{z^{2}-0.8696z} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

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