Grenzwert mit Integralrechnung

10.02.2017, 17:36

Starflag

Grenzwert mit Integralrechnung

Hallo,

ich soll den Grenzwert dieser Summe mithilfe der Integralrechnung berechnen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} sin(\frac{k\pi}{n} ) \end{eqnarray*}$

Kann man die Summe einfach als Integral von 1 bis unendlich auffassen und diese dann integrieren?

Danke schonmal und schönen Abend noch smile

10.02.2017, 17:49

HAL 9000

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Denk mal an Riemann-Summen, und zwar bezogen auf die Zerlegung des Intervalls $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ mit den Zerlegungspunkten $\begin{align*} x_k = \frac{k}{n} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=0,1,\ldots,n \end{align*}$ .

10.02.2017, 18:50

Starflag

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Wie genau soll ich dafür vorgehen? Ich kenne zwar die Definition von Riemann-Summen, weiß aber nicht wie ich diese darauf anwenden soll.

10.02.2017, 21:06

HAL 9000

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Wir betrachten mit diesen von mir genannten Zerlegungspunkten die Riemannsumme

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n f(t_k)\cdot \left(x_k-x_{k-1}\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(t_k) \end{align*}$ ,

wobei die Punkte $\begin{align*} t_k \end{align*}$ aus dem Intervall $\begin{align*} \left[x_{k-1},x_k\right] = \left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right] \end{align*}$ stammen - speziell kann man da auch $\begin{align*} t_k=x_k=\frac{k}{n} \end{align*}$ wählen, was wir hier tun!

Für stetige Funktionen $\begin{align*} f:\; [0,1]\to \mathbb{R} \end{align*}$ wissen wir nun, dass bei immer feinerer Zerlegung diese Riemannsumme gegen das zugehörige bestimmte Integral konvergiert, d.h.

$\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int\limits_0^1 f(x) ~ \dd x \end{align*}$ .

Jetzt "rate" mal, auf welche Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ wir das hier anwenden...

11.02.2017, 12:15

Starflag

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Wie kommst du denn überhaupt auf diese Zerlegung, kann man die nicht beliebig wählen?

Zitat:

Für stetige Funktionen wissen wir nun, dass bei immer feinerer Zerlegung diese Riemannsumme gegen das zugehörige bestimmte Integral konvergiert

Also konvergiert die Summe gegen das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ Oder setze ich hier für $\begin{eqnarray*} x=\frac{k \pi}{n} \end{eqnarray*}$ ein?

11.02.2017, 15:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Starflag
Wie kommst du denn überhaupt auf diese Zerlegung, kann man die nicht beliebig wählen?

Na dann wähl sie beliebig und sieh zu, was du mit dieser beliebigen Wahl dann anstellen kannst...

Ich hatte eigentlich angenommen, dass das Ziel die Berechnung von $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \end{align*}$ war, und da fährt man mit einer spezielleren Wahl besser. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Starflag
Also konvergiert die Summe gegen das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Nein. Denk nochmal genau nach, wie man $\begin{align*} f \end{align*}$ wählen sollte, damit die Terme $\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) \end{align*}$ übereinstimmen.

11.02.2017, 16:04

Starflag

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Ach so ich wusste nicht, dass die Terme gleich sein müssen. Dann muss man

$\begin{eqnarray*} f(x)= sin(\pi) \end{eqnarray*}$ wählen.

Der sin von pi ist 0, wenn ich das integriere erhalte ich ja irgendeine Konstante in den Grenzen 0 bis 1. Also ist mein Grenzwert 1?

11.02.2017, 21:28

HAL 9000

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Wir könnten dieses Trial-und-Error-Spiel noch eine Weile treiben, aber ich bin deine grottenschlechte Raterei leid: Richtig wäre die Wahl $\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(\pi x) \end{eqnarray*}$ gewesen. unglücklich

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