f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist

10.02.2017, 18:00	wolk	Auf diesen Beitrag antworten »
f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist Meine Frage: Hallo, ich weiß, es gibt schon gefühlte 1000 Threads zu diesem Thema, ich steh aber trotzdem irgendwie an "Sei f: M->M eine Funktion mit einer endlichen nichtleeren Menge M. Zeigen Sie: f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist" Ich hab da eher Probleme dabei, wie ich diesen Beweis richtig anschreibe, sodass mein Prof. zufrieden ist. Danke schon mal! Meine Ideen: Ich vermute mal, man muss zuerst annehmen, dass f injektiv ist und die Surjektivität beweisen und dann in die anderen Richtung. Aber ich hab halt irgendwie Probleme mit der richtigen Schreibweise...
10.02.2017, 18:52	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist Bevor man Argumente formalisieren kann, muss man erstmal welche haben. Gib also Deine Argumente, warum die Aussage stimmen soll, in moeglichst klaren und praezisen Worten hier an. Danach kann man weitersehen.
10.02.2017, 19:04	wolk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist mein ansatz wär folgender: -> "f ist injektiv", zu zeigen: f ist surjektiv injektiv: f(x) = f(y) Da die Definitionsmenge = Bildmende, kann man daraus schließen, dass: \forall m \in M : \exists n \in M : f(m) = n und somit ist f surjektiv <- "f ist surjektiv", zu zeigen: f ist injektiv surjektiv: f(x) = y \forall m,n \in M : f(m) = f(n) --> m = n Das wär mal meine Vorgehensweise für den Beweis, nur hab ich ziemlich wenig Plan, ob das überhaupt ein Beweis ist. Es ist ja nur eine Ansammlung von Definitionen...
10.02.2017, 19:06	wolk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist (sorry, latex und so ^^) mein ansatz wär folgender: -> "f ist injektiv", zu zeigen: f ist surjektiv injektiv: f(x) = f(y) Da die Definitionsmenge = Bildmende, kann man daraus schließen, dass: $\begin{eqnarray} \forall m \in M : \exists n \in M : f(m) = n \end{eqnarray}$ und somit ist f surjektiv <- "f ist surjektiv", zu zeigen: f ist injektiv surjektiv: f(x) = y $\begin{eqnarray} \forall m,n \in M : f(m) = f(n) --> m = n \end{eqnarray}$ Das wär mal meine Vorgehensweise für den Beweis, nur hab ich ziemlich wenig Plan, ob das überhaupt ein Beweis ist. Es ist ja nur eine Ansammlung von Definitionen...
10.02.2017, 19:20	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist Dein Formalismus ist mehr oder weniger wirr, unvollstaendig und falsch. Es finden sich auch keine Argumente darin (sagst Du selber). Da kann es kein Beweis fuer irgendwas sein. Mein Tipp war deshalb gerade, die Argumente fuer die Richtigkeit der Aussage zuerst in deutscher Sprache zu formulieren. Noch ein inhaltlicher Tipp: Wenn f injektiv ist und M eine endliche Teilmenge des Definitionsbereichs, dann haben M und f(M) gleich viele Elemente. Warum?
10.02.2017, 19:58	wolk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist Injektivität heißt, dass es für jedes y der Zielmenge höchstens ein x der Definitionsmenge geben darf, es darf also kein y zweimal getroffen werden. Daher kann ich auch sagen f(x) = f(y) bzw x = y. Surjektivität heißt, dass es für jedes y der Zielmenge mindestens ein x der Definitionsmenge geben muss. Es kann also auf ein y zweimal getroffen werden. Soweit mal die Definition, da glaub ich auch, dass ich das halbwegs verstanden habe. Aber ich scheitere so komplett daran, wie ich aus der einen Annahme (zB f ist injektiv) die Surjektivität zeigen soll oder umgekehrt. Ich tu mir da wesentlich leichter, wenn ich eine Funktion habe, in die ich Werte einsetzen kann. Wenn ich sowas nicht hab, steh ich total an...
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10.02.2017, 20:32	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: f ist injektiv genau dann wenn f surjektiv ist Du sollst nicht die Definitionen von Injektivitaet und Surjektivitaet verbalisieren; die werden als bekannt vorausgesetzt. Was man fuer jeden Beweis braucht, ist ein Argument dafuer, warum die eigentliche Behauptung (jenseits von verwendeten Begriffsdefinitionen) denn jetzt stimmt. Ein solches Argument wird von Dir verlangt. Finde eines, verbalisiere es und benutze es dann. Zur Inspiration: Ein Hotel hat n (freie) Zimmer und eine Reisegruppe aus n Leuten will Zimmer haben. Injektiv bedeutet, dass kein Zimmer doppelt belegt wird, surjektiv, dass kein Zimmer leer bleibt. Kann man das eine ohne das andere haben? Warum nicht? Als zu beweisenden Hilfssatz fuer die eigentliche Aufgabe: Ist $\begin{eqnarray} f:M\mapsto M \end{eqnarray}$ injektiv, dann gilt $\begin{eqnarray} \|f(M)\|=\|M\| \end{eqnarray}$ . Ist hingegen $\begin{eqnarray} f:M\mapsto M \end{eqnarray}$ nicht injektiv, dann gilt $\begin{eqnarray} \|f(M)\|<\|M\| \end{eqnarray}$ . ( $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ endlich, $\begin{eqnarray} \|M\| \end{eqnarray}$ Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ .) Der Hilfssatz ist das Argument zum verlangten Beweis (laesst sich fuer beide Richtungen verwenden.)

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