Berechnung Varianz bei Zufallsvariablen

10.02.2017, 19:15

nicerdicer

Berechnung Varianz bei Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hey Leute,
wir rechnen gerade Aufgaben zur Klausurvorbereitung im Informatik-Studium Bereich Stochastik und hängen an folgender Aufgabe:

Zwischen zwei Pfosten im Abstand 610mm sollen drei quadratische Fliesen verlegt werden, deren Kantenlängen X produktionsbedingt zufällig und stochastisch unabhängig schwanken. Der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu_x=E(X)=200 \end{eqnarray*}$ und die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma_X=2 \end{eqnarray*}$ in der Grundgesamtheit sind bekannt. Die Zufallsvariable Y beschreibt die durchschnittliche Breite der vier Fugen.

a.) Geben Sie eine Formel für Y als Funktion der Kantenlängen $\begin{eqnarray*} X_i (i=1,2,3) \end{eqnarray*}$ der drei zu verlegenden Fliesen an.

b.) Bestimmen Sie Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu_Y=E(Y) \end{eqnarray*}$ und Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma_Y \end{eqnarray*}$ .

c.) Wie groß ist unter der Annahme, dass die Fugenbreiten normalverteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray*} \mu_Y,\sigma_Y \end{eqnarray*}$ sind, die Wahrscheinlichkeit, dass drei zufällig dem Paket entnommene Fliesen keine positive Fugenbreite zulassen?

Meine Ideen:
Aufgabe a.) konnten wir bereits lösen:

Formel für Y:
$\begin{eqnarray*} Y=\frac{610-(X_1+X_2+X_3)}{4} \end{eqnarray*}$

Aufgabe b konnten wir den Erwartungswert für Y ebenfalls errechnen.
$\begin{eqnarray*} Y=152.5-\frac{1}{4}\sum_{i=1}^3 X_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y=152.5-\frac{1}{4}*3*200=2.5 \end{eqnarray*}$

Doch am bei der Standardabweichung hängen wir komplett.
Unser Prof hat dabei folgende Rechnung durchgeführt:

$\begin{eqnarray*} V(y)=(-\frac{1}{4})²\sum_{i=1}^3 V(X_i)=\frac{3*2²}{16}=0.75 \end{eqnarray*}$

diese können wir aber überhaupt nicht nachvollziehen. Um kommt es so vor, als hätte unser Prof da mehrere Schritte in einem zusammengefasst. W

Ebenso haben wir leider für C keinen Lösungsansatz und auch keine Vorgabe.

Es wäre super, wenn jemand Vorschläge zur Lösung oder Erläuterungen hätte.

Vielen Dank und schönen Abend

10.02.2017, 20:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von nicerdicer
Unser Prof hat dabei folgende Rechnung durchgeführt:

$\begin{eqnarray*} V(y)=(-\frac{1}{4})²\sum_{i=1}^3 V(X_i)=\frac{3*2²}{16}=0.75 \end{eqnarray*}$

diese können wir aber überhaupt nicht nachvollziehen.

Zwei Eigenschaften gehen hier ein:

1) $\begin{eqnarray*} V(aX) = a^2V(X) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} V(X+Y)=V(X)+V(Y) \end{eqnarray*}$ für unabhängige (!) $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ , entsprechendes gilt auch für die Summe von mehr als zwei unabhängigen Summanden.

Zitat:

Original von nicerdicer
Ebenso haben wir leider für C keinen Lösungsansatz und auch keine Vorgabe.

Rate mal, wozu b) da war: Als Vorbereitung für c) !!!

Ihr wisst, dass die Größe Y normalverteilt ist, und habt in b) die zugehörigen Verteilungsparameter berechnet. Dann könnt ihr ja wohl P(Y<0) berechnen, oder nicht?

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