Lineare Unabhängigkeit beweisen nur mit Variablen

11.02.2017, 11:44

Admil82

Lineare Unabhängigkeit beweisen nur mit Variablen

Hallo

Folgende frage: "Die Vektoren a und b seien Linear Unabhängig"

Zeigen sie dass dann auch

a) a+b und a-b

b) a+3b und 2a+5b

unabhängig sind.

Das gleiche habe ich dann nochmal mit a,b,c

a) a+2b und a+b+c und a-b-c

b) a und 2a+b-c und 3a+2b+5c

könnt ihr mir da helfen?

11.02.2017, 12:11

sixty-four

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Du musst zeigen, dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda_1(\vec{a}+\vec{b}) + \lambda_2(\vec{a}-\vec{b}) = \vec{o} \end{eqnarray*}$

Nur erfüllt sein kann, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ beide 0 sind.

Nun rechne mal ein bisschen und stelle das als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ dar.

11.02.2017, 12:19

Admil82

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Hmm ich kriege das nicht richtig umgestellt, könntest du mir die linear kombination zeigen?

11.02.2017, 12:37

sixty-four

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Du musst jetzt benutzen, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathfrak{b} \end{eqnarray*}$ Vektoren sind. Dass heißt: $\begin{eqnarray*} \lambda_1(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})= \lambda_1 \mathfrak{a} + \lambda_1 \mathfrak{b} \end{eqnarray*}$

Geht's jetzt weiter?

11.02.2017, 12:55

Admil82

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Ich würde da auf

a+b = (- s*a + s*b)/r

kommen, nur bleibe ich da stecken, soweit die Gleichung richtig ist

11.02.2017, 13:09

sixty-four

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Was ist jetzt s, was ist r. Haben wir jetzt das Thema gewechselt?

Das was ich dir für die Vektorensumme schon ausgerechnet habe musst du jetzt für die Differenz machen und wenn du das hast, kannst du das wieder als Linearkombination der beiden Vektoren schreiben $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a,b} \end{eqnarray*}$ , von denen du die Unabhängigkeit voraussetzen kannst.

11.02.2017, 13:15

sixty-four

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Wir sind immer noch bei der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1(\mathfrak{a}+\mathfrak{b}) + \lambda_2(\mathfrak{a}-\mathfrak{b}) = \mathfrak{o}<br /> \end{eqnarray*}$

Du musst zeigen, dass die nur die triviale Lösung haben kann.

11.02.2017, 13:30

Admil82

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Ich hab lediglich die beiden Zeichen von dir durch r und s ersetzt da ich nicht weiß wie man die hier macht. Ich habe das umgestellt zu a+b, zu einer linear kombination. Nur weiß ich trotzdem nicht wie ich damit zeigen kann dass nur r=0 und s=0 geht (oder halt bei dir die beiden zeichen =0)

11.02.2017, 13:43

sixty-four

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An der Gleichung die ich dir um 12:37 Uhr für das Produkt aus einem Skalar und der Summe zweier Vektoren aufgeschrieben habe, brauchst du nichts mehr dran rumrechnen. Diese Gleichheit musst du benutzen, um die Gleichung, deren Gültigkeit du zeigen willst, etwas umzuformen.

Schau dir nochmal an, was ich oben geschrieben habe, und was unten steht. Kannst du die Gleichung, die unten steht mit dem was oben steht etwas umformen?

11.02.2017, 13:55

Admil82

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Ich kann a und b jeweils ausklammern, nur inwieweit hilft mir das?

11.02.2017, 15:00

sixty-four

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Du hast immer wieder neue "Ideen". Am einfachsten wäre es aber, wenn du mal versuchst, meine Frage zu bantworten. Schau dir die Gleichung oben an und die untere. Was siehst du dann?

11.02.2017, 15:33

Admil82

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hab ich doch gerade gesagt ich kann bei der 2. Gleichung das r(a+b) wie in der 1. Gleichung ausklammern. Und meine Frage ist immernoch wo mir das hilft?

11.02.2017, 15:46

sixty-four

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Dann klammer doch mal aus, was immer du ausklammern willst. Aber schreib das Ergebnis auf, damit ich weiß was du meinst.

11.02.2017, 15:56

Admil82

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r*a+r*b+s(a-b)=0.

11.02.2017, 15:59

Admil82

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Oder auch r*a+r*b+s*a-s*b=0.
Was ich bereits umformte zu a+b=(-s*a+s*b)/r, was so wie ichs verstehe eine Linear kombination ist

11.02.2017, 16:06

sixty-four

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So kommen wir weiter. Du hast nichts ausgeklammert, sondern einen Ausdruck durch einen anderen gleichwertigen ersetzt. Die Gleichwertigkeit ergibt sich aus dem Gleichheitszeichen, das zwischen ihnen steht.
Jetzt machst du das nochmal für die Differenz von a und b mit dem anderen Faktor davor und schreibst das, wa du dann erhältst auch noch mal hin.

11.02.2017, 16:13

sixty-four

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Zitat:

Original von Admil82
Oder auch r*a+r*b+s*a-s*b=0.
Was ich bereits umformte zu a+b=(-s*a+s*b)/r, was so wie ichs verstehe eine Linear kombination ist

Die erste Gleichung ist schon mal sehr gut, aber die zweite lass mal lieber weg. Dein Ziel muss jetz sein, die erste so umzuformen, dass links eine Linearkombination von a und b steht und rechts der Nullvektor. Dabei sollen links die Vektoren a und b aber nur je einmal auftauchen.
Versuche zu verstehen, warum du eine solche Darstellung anstreben musst. Wenn du es nicht verstehst, frage danach.

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