Vollständige Orthonormalbasis eines Folgenraums

11.02.2017, 13:30	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Orthonormalbasis eines Folgenraums Guten Tag, ch bereite mich gerade auf eine Klausur in Mathematik vor und komme bei einem wichtigen Beweis nicht weiter und hoffe ihr mir weiterhelfen könnt. Wir betrachten den $\begin{eqnarray} l_2(\mathbb{Z})=\{(u_n)_{n \in \mathbb{Z}} \in \mathbb{R}^\mathbb{Z}\| \sum_{n\in \mathbb{Z}}^{}\|u_n\|^2 < \infty \} \end{eqnarray}$ Folgenraum und die Menge $\begin{eqnarray} M:= \{E^{(k)} \| k \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} E^{(k)}= (..,0,.......,0,....1,..) \end{eqnarray}$ die Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit allen null Einträgen ausser der k-ten ist. In der Aufgabe soll ich nun zeigen, dass M eine vollständige Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray} l_2(\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ bildet. Die Orthogonalität und "normiertheit" habe ich bereits gezeigt. Da wir unendlichdimensionale Räume betrachten muss ich noch zeigen, dass M dicht in $\begin{eqnarray} l_2(\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ liegt bzgl. der induzierten Norm vom Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <(a_n), (b_n)> := \sum_{n \in \mathbb{Z}}^{}a_n b_n \end{eqnarray}$ Um die Dichtheit zu zeigen, muss ja folgendes erfüllt sein: $\begin{eqnarray} \forall (a_n) \in l_2(\mathbb{Z}) \exists (E^{(k)}) \subset M : \lim\limits_{k \rightarrow \infty} E^{(k)} = (a_n) \end{eqnarray}$ was äquivalent zu: $\begin{eqnarray} \|\| (a_n)-E^{(k)} \|\| \end{eqnarray}$ geht gegen 0 für k gegen unendlich. Falls das korrekt sein sollte, komme ich dann am folgenden Schritt nicht mehr weiter $\begin{eqnarray} \|\| (a_n)-E^{(k)} \|\| = [ \sum_{n \in \mathbb{Z}}^{}(a_n-E^{(k)}_n)^2]^{\frac{1}{2}}= [ \sum_{n \in \mathbb{Z}}^{}(a_n-\delta_{nk})^2]^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ was im Grenzwert ungleich 0 ist. Bemerkung $\begin{eqnarray} E^{k}_n \end{eqnarray}$ ist das n Folgeglied der Folge $\begin{eqnarray} E^{(k)} \end{eqnarray}$
11.02.2017, 17:55	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Definition einer Orthonormalbasis ist leider ziemlich unsinnig. Du willst da gerade zeigen, dass die jedes Element $\begin{align} a\in\ell^2 \end{align}$ der (im übrigen nicht existente) Grenzwert der Folge $\begin{align} (E^{(k)})_{k\in\mathbb N}\in (\ell^2)^{\mathbb N} \end{align}$ ist. Selbst wenn dieser Grenzwert existieren würde, so wäre er doch eindeutig. Wie soll da jedes beliebe $\begin{align} \ell^2 \end{align}$ -Element rauskommen? Stattdessen ist zu zeigen, dass $\begin{align} \overline{\operatorname{span}}(M)= \ell^2 \end{align}$ . Setze dafür für festes $\begin{align} u = \big(u(n)\big)_{n\in\mathbb Z}\in \ell^2 \end{align}$ eine Folge $\begin{align} u_n := \sum_{k=-n}^n u(k)E^{(k)} = (...,0,u_{-n},u_{-n+1},...,u_{n-1},u_n,0,...)\in \operatorname{span}(M) \end{align}$ und zeige, dass diese Folge gegen $\begin{align} u \end{align}$ konvergiert. Nebenbei: Dieses Thema gehört eigentlich in die Analysis, nicht in die Algebra.
11.02.2017, 21:18	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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