Bedeutung und Verwendung der Resultante

11.02.2017, 15:42

Shalec

Bedeutung und Verwendung der Resultante

Moin,

heute mal ein anderes Thema, was vermutlich bereits an vielen Schulen auf Basisniveau durchgekaut wird. Was bedeutet die Resultante zweier Polynome?

Zunächst die Definition anhand der Literatur [1, S. 119, Def. 3.3.2] oder dem Internet [2].

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1. Definition: Resultante
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Seien $\begin{eqnarray*} f,g\in K[X] \end{eqnarray*}$ Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} deg(f)=m, deg(g)=n \end{eqnarray*}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray*} \alpha_i,\beta_j\in \overline{K} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\alpha_i)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(\beta_j)=0 \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq i\leq m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq j\leq n \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann lassen sich f und g als Zerlegung über $\begin{eqnarray*} \overline{K} \end{eqnarray*}$ schreiben als:

$\begin{eqnarray*} f(X) = a\cdot \prod\limits_{i=1}^{m}(X-\alpha_i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(X)=b\cdot \prod\limits_{j=1}^{n}(X-\beta_j) \end{eqnarray*}$ .

Die Resultante von f und g ist dann durch eine der folgenden äquivalenten Formeln definiert:
$\begin{align*} Res(f,g) &= a^n \prod\limits_{i=1}^{m} g(\alpha_i) &= (-1)^{mn} b^m \prod\limits_{j=1}^{n} f(\beta_j) &= a^nb^m \prod\limits_{i=1}^{m}\prod\limits_{j=1}^{n} (\alpha_i-\beta_j) \end{align*}$
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Auf Wikipedia [2] steht in der Einleitung, dass

Zitat:

[...] die Resultante ein Werkzeug der kommutativen Algebra, um zwei Polynome auf das Vorhandensein gemeinsamer Nullstellen zu prüfen. [...]

Dies ist soweit erstmal klar und nachvollziehbar. Ist Res(f,g)=0, existiert mindestens eine gemeinsame Nullstelle. Aber: Ist der Rechenaufwand für diese Erkenntnis nicht zu groß?

Welche anderen Aussagen kann ich aus der Resultante gewinnen, wenn ich g=f' z.B. betrachte?

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Literatur
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[1] Henri Cohen, A course in computational algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics, 138. Berlin: Springer, 1993.

[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Resultante

11.02.2017, 17:35

IchWeißNicht

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Hi,

eine äquivalente Definition der Resultante, die nicht auf den Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \overline{K} \end{eqnarray*}$ basiert, ist, dass die Resultante die Determinante der folgenden $\begin{eqnarray*} (n+m) \times (n+m) \end{eqnarray*}$ Matrix mit Einträgen in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist:

Schreibe $\begin{eqnarray*} f = a_0 + a_1 X + ... + a_m X^m \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g = b_0 + b_1 X + ... + b_n X^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_m, b_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} Res_{f,g} = det \begin{pmatrix} f_m & f_{m-1} ... & f_0 & & & \\ & f_m & ... & f_0 & &\\ && \ddots & & & \\ &&& f_m & ... & f_0 \\ g_n & g_{n-1} ... & g_0 & & & \\ & g_n & ... & g_0 & & \\ && \ddots & & & \\ &&& g_m & ... & g_0 \\ \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Es stimmt, dass man anhand der Resultante ablesen kann, ob $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \overline K \end{eqnarray*}$ eine gemeinsame Nullstelle besitzen. Man kann natürlich aber sogar herausfinden, ob $\begin{eqnarray*} f, g \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ einen gemeinsamen Faktor besitzen.

In der Praxis ist es oft sehr schwierig einen gemeinsamen Faktor von zwei Polynomen explizit zu berechnen, da du im Endeffekt (zu einem Teil) die Zerlegung in irreduzible Faktoren der beiden Polynome brauchst. Dass das Finden dieser schwierig ist, brauch ich vermutlich nicht sagen (schon das Faktorisieren von großen ganzen Zahlen ist eine höchst nichttriviale Aufgabe).

Manchmal braucht man aber nur, dass ein gemeinsamer Faktor existiert und muss den Faktor nicht explizit bestimmen. In dem Setup was du gegeben hast, d.h. $\begin{eqnarray*} f,g \in K[X] \end{eqnarray*}$ , kann man da einfach den euklidischen Algorithmus nutzen. Die ganze Betrachtung mit der Resultante funktioniert aber auch, wenn $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ durch einen faktoriellen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ersetzt wird, d.h. $\begin{eqnarray*} f,g \in R[X] \end{eqnarray*}$ , und da liefert die Resultante eben eine mehr oder weniger gute (d.h. mit vertretbarem Aufwand durchführbare) Methode, um festzustellen, ob zwei Polynome einen gemeinsamen Faktor besitzen. Man muss eben nur die Determinante einer $\begin{eqnarray*} (n+m) \times (n+m) \end{eqnarray*}$ Matrix berechnen.

Um deine restlichen Fragen zu beantworten:
1) Ist $\begin{eqnarray*} g = f' \end{eqnarray*}$ , so nennt man $\begin{eqnarray*} Res_{f,g} = Res_{f,f'} =: \Delta_f \end{eqnarray*}$ die Diskriminante von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Diese sollte aus der Schule schon für quadratische Polynome bekannt sein. Kleine Aufgabe für dich: Ist $\begin{eqnarray*} f = aX^2 + bX + c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ , berechne die Diskriminante von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . smile

Ein elementares Lemma aus der Algebra besagt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ quadratfrei ist genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f, f' \end{eqnarray*}$ keinen gemeinsamen Faktor haben (das kannst du auch versuchen zu beweisen). D.h. die Diskriminante gibt genau an, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ quadratfrei ist.

2) Die wichtigste Anwendung der Resultante ist meiner Meinung nach für den Satz von Bézout für ebene algebraische Kurven über den komplexen Zahlen. Das hier auszuführen würde aber zu lang dauern, wenn du konkrete Fragen dazu hast, kann ich dir aber gerne versuchen dabei zu helfen.

11.02.2017, 17:42

IchWeißNicht

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In der letzten Zeile der Matrix oben soll es natürlich $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ heißen.

11.02.2017, 20:00

Shalec

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Hey, danke für den ausführlichen Ausflug über faktorielle Ringe und der Veranschaulichung an dem Faktorisierungsproblem. Dadurch sehe ich schon besser den Aussagegehalt der Resultante.

Ich kenne natürlich die Diskriminante für quadratische und kubische Polynome, aber auch hier scheiden sich ja die Geister.

Nehmen wir mal die Diskriminante der elliptischen Kurven in kurzer Weistraßform $\begin{eqnarray*} y^2=x^3+ax+b \end{eqnarray*}$ in Körpern K der Charakteristik $\begin{eqnarray*} char(K)\neq 2,3 \end{eqnarray*}$ als Beispiel:
Einige definieren $\begin{eqnarray*} \Delta =-16(4a^3+27b^2) \end{eqnarray*}$ andere lassen gerne den Faktor -16 weg.
Bei quadratischen Polynomen hingegen gibt es auch verschiedene Darstellungen. Wenn man die allgemeine Lösung nach der Mitternachts- (bzw. pq-) Formel betrachtet, hat man ja $\begin{eqnarray*} \Delta = \frac{p^2-4q}{4} \end{eqnarray*}$ oder eben ohne den Nenner als Diskriminante definiert.

Ich werde das Aber durchaus nochmal nachrechnen (anhand der Definition der Resultante), nur um zu sehen, dass es auch stimmt Big Laugh

Nochmal zu deinem Ausflug zurück: Wenn man dann einen Faktor besitzt, führt man dann diese Operation so lange durch, bis man alle Faktoren kennt? (Bis ein schnellerer Weg anwendbar ist..)
Wenn man nur an einem Faktor interessiert ist, in welchem Kontext wird nur einer gebraucht? Test nach Irreduzibilität?

Viele Grüße und Danke

12.02.2017, 22:40

IchWeißNicht

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Zitat:

Bei der Resultante findet man die Faktoren nicht heraus, man findet nur heraus, ob ein gemeinsamer Faktor existiert. Z.B. könnte man daran interessiert sein, die Anzahl der Schnittpunkte von zwei ebenen algebraischen Kurven (über den komplexen Zahlen) zu beschränken. Wenn ich schon weiß, dass die beiden Kurven keinen gemeinsamen Faktor haben (was ich über einige Rechnungen mit der Resultante in Erfahrung bringen kann), dann gibt mir der Satz von Bézout Aufschluss.

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