Untervektorraum eines Folgenraum

11.02.2017, 20:25	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum eines Folgenraum Guten Abend, könnte bitte jemand den bestätigen ob ich den folgendes Beweis, formal korrekt aufgeschrieben habe. Aufgabe Zeigen Sie, dass der Raum $\begin{eqnarray} s(\mathbb Z):= \{(u_n)_{n\in \mathbb Z} \in \mathbb R^{\mathbb Z} , \forall P \in \mathbb R[X] \exists C_p > 0: \|P(n)u_n\|< C_p \forall n \in \mathbb Z\} \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} l_2(\mathbb{Z})=\{(u_n)_{n \in \mathbb{Z}} \in \mathbb{R}^\mathbb{Z}\| \sum_{n\in \mathbb{Z}}^{}\|u_n\|^2 < \infty \} \end{eqnarray}$ Beweis: - Sei $\begin{eqnarray} (O_n) \in l_2(\mathbb Z) \end{eqnarray}$ die "Nullfolge" mit $\begin{eqnarray} O_n=0 \quad \forall n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|P(n) O_n\| = \|0\| \leq 0 \quad \Rightarrow (O_n)\in s_(\mathbb Z) <br /> \end{eqnarray}$ - Addition Intern. Sei $\begin{eqnarray} (u_n),(v_n) \in s(\mathbb Z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|P(n) \cdot (u_n + v_n)\| \leq \|P(n) u_n\| + \|P(n) v_n\| \leq c''+c'=c \Rightarrow (u_n) + (v_n) \in s(\mathbb Z) \end{eqnarray}$ - Skalarmultiplikation intern. Sei $\begin{eqnarray} ((v_n),\lambda)\in s(\mathbb Z)\times \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|P(n) u_n\| \leq c \Rightarrow \|\lambda\| \|P(n) u_n\| = \|P(n) \lambda u_n\| \leq c \lambda = r \in \mathbb R \Rightarrow (u_n) \cdot \lambda \in s(\mathbb Z) \end{eqnarray}$ Mfg
12.02.2017, 08:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum eines Folgenraum Das wichtigste und interessanteste fehlt doch: $\begin{eqnarray} s(\mathbb Z) \subset \ell^2(\mathbb Z) \end{eqnarray}$ . Ansonsten musst du noch erklären was die $\begin{eqnarray} c, c', c'' \end{eqnarray}$ in deinem Beweis sind damit es formal richtig ist.

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