Komplexe Zahlen auflösen

12.02.2017, 17:38

lllll

Komplexe Zahlen auflösen

Meine Frage:
Folgende Aufgabe
Berechnen Sie zi:
$\begin{eqnarray*} z_1 = (-j)^\frac{j}{\pi } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
würde mich über einen Ansatz zur Lösung der Aufgabe freuen

12.02.2017, 23:13

Leopold

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Im Komplexen definiert man

$\begin{align*} a^b = \operatorname{e}^{b \log a} \end{align*}$

Mit $\begin{align*} \log \end{align*}$ ist der komplexe natürliche Logarithmus mit all seiner Vieldeutigkeit gemeint. Je nach Vereinbarung wird man sich auf dessen Hauptzweig beschränken.

12.02.2017, 23:57

llllll

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mhm gut

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{j}{\pi }log(-j) } \end{eqnarray*}$

und dann für $\begin{eqnarray*} log(-j) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2} \pi + k*2\pi )j \end{eqnarray*}$

einsetzen

für j dann nur noch $\begin{eqnarray*} 1*e^j\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

oder sehe ich dass falsch

13.02.2017, 11:12

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Nein, das siehst Du richtig.

Viele Grüße
Steffen

PS: Du bist hier mit zwei Accounts unterwegs. Der User lllll wird daher demnächst gelöscht.

13.02.2017, 11:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von llllll
und dann für $\begin{eqnarray*} log(-j) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{3}{2} \pi + k*2\pi )j \end{eqnarray*}$

Wobei in dieser Schreibweise der von Leopold bereits erwähnte Hauptzweig nicht für k=0, sondern k=-1 anfällt.

13.02.2017, 12:18

llllll

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$\begin{eqnarray*} e^{\frac{j}{\pi }(\frac{3\pi }{2}8-1*2\pi)*j } \end{eqnarray*}$

gut.. wenn ich jetzt noch j auflöse wird dass ganze noch unschöner

ich hab ein bisschen rumprobiert, wie mach ich jetzt am besten weiter?

13.02.2017, 12:27

HAL 9000

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$\begin{align*} j\cdot j=j^2=-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \pi \end{align*}$ kannst du außerdem kürzen - da ist noch einiges drin an Vereinfachung.

Bist du ganz sicher, dass es nur um den Hauptzweig geht? Ansonsten würde ich das $\begin{align*} k \end{align*}$ erstmal noch drin belassen.

EDIT: Ähem, und woher kommt plötzlich diese ominöse $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ ? Erstaunt1

Schreibfehler?

13.02.2017, 12:39

llllll

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die 8 sollte ne klammer sein..
j^2 =-1
und pi kürzen hab ich beides schon gemacht

ist eine Aufgabe aus einer alten Prüfung, rauskommen soll e^1/2

13.02.2017, 12:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von llllll
und pi kürzen hab ich beides schon gemacht

Und? Ergebnis?

13.02.2017, 12:55

llllll

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$\begin{eqnarray*} e^{\frac{-3}{2}-1*2\pi } = 4,166*10^{-4} \end{eqnarray*}$

13.02.2017, 12:59

HAL 9000

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Das wäre das Ergebnis für k=1. Der Hauptzweig ist aber der für k=-1. unglücklich

Besser zunächst die Rechnung für allgemeine ganzzahlige $\begin{align*} k \end{align*}$ :

$\begin{align*} e^{\frac{j}{\pi}\left(\frac{3}{2}\pi + k2\pi\right)j} = e^{-\frac{1}{\pi}\left(\frac{3}{2}\pi + k2\pi\right)} = e^{-\frac{3}{2}-2k} \end{align*}$ ,

und da kommt beim Einsetzen von $\begin{align*} k=-1 \end{align*}$ eben jenes $\begin{align*} e^{\frac{1}{2}} \end{align*}$ heraus.

13.02.2017, 13:04

llllll

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super, danke für die Hilfe Freude

Was ich mich jetzt frage ist, warum der Hauptzweig k=-1 ??

die anderen Teile der Aufgabe habe ich verstanden

13.02.2017, 13:06

HAL 9000

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Nun, die Verwirrung begann ja ursächlich mit deinem $\begin{align*} \left(\frac{3}{2}\pi + k\cdot 2\pi\right)j \end{align*}$ . Über alle ganzen Zahlen $\begin{align*} k \end{align*}$ betrachtet ist das natürlich auch richtig, allerdings wählt man bei komplexen Zahlen vereinbarungsgemäß eher das Basisintervall $\begin{align*} (-\pi,\pi] \end{align*}$ für das Argument des Hauptzweiges statt $\begin{align*} [0,2\pi) \end{align*}$ , so dass bei alternativer Schreibweise $\begin{align*} \left(-\frac{1}{2}\pi + k\cdot 2\pi\right)j \end{align*}$ tatsächlich der Hauptzweig mit $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ korrespondiert.

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